Juillet 2024 — 2^e défi

Énoncé

Une bonne manière d’aborder ce type de problème est de partir de la fin du jeu. Nous allons voir qu’Anna a une stratégie gagnante. Pour qu’Anna gagne, il suffit qu’au début d’un tour de jeu de Marine, celle-ci se retrouve avec zéro bonbon. Pour cela, il suffit qu’au tour d’avant, Anna laisse à  Marine \(102\) bonbons. En effet, \(102\) est un multiple de \(3\) et Marine devra enlever au moins un bonbon et au plus \(101\) bonbons. Donc elle laissera un nombre de bonbons entre \(1\) et \(101\). De plus, elle laissera à Anna \(102\) bonbons moins un multiple de \(3\) ou \(102\) bonbons moins un multiple de \(3\), moins \(1\). Dans le premier cas, ce qui reste est un multiple de \(3\) inférieur ou égal à \(101\), donc Anna pourra prendre tous les bonbons. Dans le second cas, ce qui reste sera un multiple de \(3\) plus \(2\) et Anna pourra également prendre tous les bonbons. Donc Anna gagnera si elle laisse \(102\) bonbons à Marine. Le même raisonnement montre qu’elle gagnera également si elle peut laisser \(204=2\times 102\) bonbons à Marine. De même, si elle peut laisser \(306=3\times 102\) bonbons à Marine, elle gagnera. De proche en proche, on voit qu’elle gagnera si elle peut laisser \(918=9\times 102\) bonbons à Marine. Or \(1001=918+83\) et \(83=3\times 27+2\). Donc une stratégie gagnante pour Anna est de prendre \(83\) bonbons au premier tour puis, à chaque coup, de laisser à Marine un multiple de \(102\) bonbons.