Défi de la semaine
Sur un échiquier, on pose huit reines noires sur la première ligne et huit blanches sur la dernière. On les fait bouger une à la fois, horizontalement, verticalement ou en diagonale, d’autant de cases que l’on veut, à condition qu’il n’y ait pas d’autre reine sur le chemin. Quel est le nombre minimal de mouvements à effectuer pour échanger les deux lignes ?
Solution du 1er défi de juin 2023
Réponse : huit paquets
Notons \(a\), \(b\) et \(c\) les nombres sur les trois cartes d’un paquet tels que \(ab=c\) et \(1\leq a<b<c\leq 100\).
Commençons par observer que \(a=1\) est impossible car, sinon, \(b=c\).
Par ailleurs, on doit avoir \(a^2 < ab=c\leq 100\). Donc \(a<\sqrt{100}=10\) et \(a\) est entre \(2\) et \(9\).
Ainsi, on pourra former au maximum huit paquets, un avec chacune des valeurs possibles de \(a\). Une possibilité est de former les paquets : \(\{9,11,99\}\), \(\{8,12,96\}\), \(\{7,13,91\}\), \(\{6,15,90\}\), \(\{5,17,85\}\), \(\{4,21,84\}\), \(\{3,26,78\}\) et \(\{2,34,68\}\).
Post-scriptum
Le calendrier est publié aux Presses Universitaires de Grenoble, sous la direction scientifique de Romain Joly.
Crédits images
©JROBALLO / Adobestock
ÉCRIT PAR
Romain Joly
Maître de conférences - Institut Fourier de Grenoble
15h41
Il est évident que chaque reine doit faire au moins un déplacement, et que si c’est le cas elle prend la place d’une reine adverse, avec laquelle elle est donc en prise au départ.
Considérons une paire de reines adverses se faisant face et non situées dans les coins. Chacune est en prise avec l’autre et aucune autre, donc pour qu’elles arrivent en un coup chacune dans la ligne adverse il faut les permuter en \(2\) coups, ce qui est impossible. Donc il faut au moins \(3\) coups pour traiter chacune des \(6\) paires concernées, soit \(18\).
Considérons maintenant les \(4\) reines en coin. Chacune est en prise avec les \(2\) reines des coins adverses et aucune autre, donc pour
15h44
Ah ben si ça marche 🙂