Défi de la semaine : problème du mois
Si chaque lettre représente un chiffre différent, quel est le résultat de la multiplication ci-dessous ?
$$
\begin{array}{ccccc}
& & 1 & A & E\\
\times & & E & 1 & E\\
\hline
& & B & D & F\\
& 1 & A & E & \\
B & D & F & & \\
\hline
B & E & E & E & F \\
\end{array}
$$
Solution du 5e défi de mai 2024
On note \(n\) le côté du grand carré et on note \(a\) le côté du petit carré dont on ne connaît pas la longueur du côté.
Puisqu’au moins un des côtés du grand carré est composé de carrés de \(1\,{\rm cm}\) de côté, on observe que \(n\) est un entier.
De la même manière, on constate que \(n-a\) est un entier, donc \(a\) est un entier.
Par ailleurs, la somme des aires des carrés de côté \(1\,{\rm cm}\) vaut \(17\,{\rm cm}^2\) et est égale à l’aire du grand carré moins celle du carré de côté \(a\).
Autrement dit, on a \(n^2-a^2=17\), ce qui donne \((n-a)(n+a)=17\).
Comme \(17\) est un nombre premier, et puisque \(n-a\) et \(n+a\) sont des nombres entiers, la seule possibilité est \(n-a=1\) et \(n+a=17\).
On trouve donc que \(n=9\) et \(a=8\), et l’aire du grand carré vaut \(81\,{\rm cm}^2\).
Post-scriptum
Le calendrier est publié aux Presses Universitaires de Grenoble, sous la direction scientifique de Romain Joly.
Crédits images
©JROBALLO / Adobestock
ÉCRIT PAR
Romain Joly
Maître de conférences - Institut Fourier de Grenoble
8h49
A = 5 et E =2.
E = 1 n’est pas possible car F différent de E.
On passe ensuite à E = 2 et on voit qu’il n’y a pas d’autre possibilité que A = 5.
Le résultat est donc: 32224
8h58
(on vérifie tout de même que les lettres correspondent à des chiffres deux à deux distincts (B = 3, F = 4 et D = 0)).
11h44
Deuxième colonne sans retenue possible: \(D+E=E\) impose que \D\) vaut \(0\).
Quatrième colonne: la retenue maximale issue de la troisième colonne est \(2\) donc \(E\) vaut au maximum \(3\). Dans la table de multiplication de \(E\) il faut réussir avec \(A\) à faire un \(0\).
La seule possibilité est alors \(E=2\) et \(A=5\) c
Le reste découle.