Défi de la semaine
Deux cercles de rayons respectifs \(3\,{\rm cm}\) et \(8\,{\rm cm}\) sont touchés par une tangente commune aux points \(C\) et \(D\). Sachant que \((AB)\) et \((CD)\) se croisent en \(E\) et que \(AE=5\,{\rm cm},\) quelle est la longueur de \([CD]\)?
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Solution du 3e défi de juin 2024
Si l’on note respectivement \(a\) et \(b\) les chiffres des dizaines et des unités de \(N\), alors \(N=10a+b\) et la condition \(N=S(N)+P(N)\) devient \(10a+b=a+b+ab.\)
On obtient ainsi \(a(b-9)=0 .\)
Mais comme \(a\neq 0\), puisque \(N\) est un nombre à deux chiffres, il suit que \(b-9=0,\) autrement dit \(b=9 .\)
Post-scriptum
Le calendrier est publié aux Presses Universitaires de Grenoble, sous la direction scientifique de Romain Joly.
Crédits images
©JROBALLO / Adobestock
ÉCRIT PAR
Romain Joly
Maître de conférences - Institut Fourier de Grenoble
15h55
Pour les triangles \(AEC\) et \(BED\), les angles en \(C\) et \(D\) sont droits donc égaux, et les angles en \(E\) sont égaux, donc les angles en \(A\) et \(B\) sont encore égaux. Ainsi ces triangles sont semblables, ce qui implique \(\frac{ED}{EC} = \frac{BD}{AC} = \frac{8}{3}\), d’où \(ED = \frac{8}{3}EC\).
Or \(CD = EC+ED\) donc \(CD = EC+\frac{8}{3}EC = \frac{11}{3}EC\).
Pour le triangle \(AEC\) rectangle en \(C\) le théorème de Pythagore donne \(EC^2 + AC^2 = AE^2\), d’où \(EC^2 = AE^2 – AC^2 = 5^2 – 3^2 = 16 = 4^2\), soit \(EC = 4\) et finalement \(CD = \frac{44}{3}\).
17h45
Une tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon de ce cercle qu’elle touche et deux droites perpendiculaires à une même troisième sont parallèles entre elles.
Donc \((AC)//(BD)\).
On peut donc faire des thalesseries.
Le triangle \(ACE\) est rectangle en \(C\) et les valeurs de ses côtés sont celles du fameux triangle rectangle minimal qui génèrent toutes les équerres dans le bâtiment: mon tonton plâtrier clouait rapidement le \(60=3*20_80=4*20_100=5*20\).
Donc \(CE=4\)
Alors \(ED/DB=EC/AC\) ou \(ED=8*4/3=32/3\)
\(CD=CE+ED=4+32/3=12/3+32/3=44/3\)