Il y a quelques temps, alors que ma fille Luna était encore en CM2, elle est rentrée à la maison en annonçant qu’elle connaissait les formules pour calculer la surface d’un carré, d’un rectangle, d’un triangle, voire même … d’un disque.
\(-\) ah bon, c’est quoi la surface d’un disque ?
\(-\) \(\pi R^2\) !
\(-\) ah oui c’est vrai… mais c’est qui \(R\) ?
\(-\) c’est le rayon !
\(-\) bon, et c’est qui \(\pi\) ?
\(-\) 3,14 !
\(-\) ah bon ? Comment tu sais que c’est 3,14 ?
Suit une discussion d’où il ressort que ce n’est pas la première fois que Luna rencontre ce nombre \(\pi\), en fait bien sûr c’est ce même nombre \(\pi\) qui était intervenu dans la formule pour calculer la longueur d’un cercle, \(2\pi R\). Résumons : un cercle est d’autant plus long que son rayon est grand, la constante de proportionnalité a été baptisée \(\pi\), et par des calculs astucieux on doit pouvoir trouver à peu près à quoi ce nombre \(\pi\) est égal (exemple de calcul astucieux : tracer à la craie un grand cercle de 10 mètres de diamètre dans la cour de récré, et mesurer sa longueur avec cet instrument à roulette dont j’ai oublié le nom, bref, plus ou moins le même compteur que celui qui équipe les voitures).
Mais pourquoi c’est le même nombre \(\pi\) qui intervient dans la formule pour la longueur et celle pour la surface ? Luna ne semblait pas spécialement troublée par cet coïncidence ( » ben, c’est parce que l’instit nous l’a dit ! »), mais j’essayais malgré tout de trouver une explication à ce curieux phénomène… sans dépasser le bagage mathématique d’un élève en CM2 bien sûr !
Voici le résultat de mes cogitations.
Tout d’abord, rappelons nous pourquoi la surface d’un rectangle est bien égale à \(l \times L\) (largeur par longueur, exprimée en cm²). Commençons par recouvrir le rectangle par des petits carreaux de coté \(a = 1\) cm. On a \(l\) petits carreaux dans le sens de la largeur, et \(L\) petits carreaux dans le sens de la longueur, soit un total de \(l \times L\) petits carreaux. Chacun de ces carreaux représentant 1 cm², tout semble ok. Le problème est qu’il n’y a pas de raison que je puisse recouvrir pile mon rectangle avec de tels carreaux (quand on fait du carrelage chez soi en tous cas ça ne tombe jamais pile). On a donc trouvé une surface un peu trop grande (l’erreur correspond aux chutes de carrelage qu’on a découpées). Bon, mais recommençons avec des carreaux plus petits, de côté \(a/10 = 1\) mm. Alors il y a \(10 l\) carreaux dans le sens de la largeur, \(10 L\) dans celui de la longueur, donc en tout \(100 \times l \times L\) carreaux d’un mm², et comme dans 1 cm² il y a bien 100 mm², la formule n’a pas bougé… et il y a moins de chutes ! En prenant des carreaux très très petits, on voit que la formule va marcher car il finira par ne plus y avoir de chutes (ou si peu que ça ne vaut plus la peine d’en parler).
Bien. Revenons au disque. Je découpe mon disque en une collection de couronnes concentriques, toutes de même largeur \(a\). Je dis qu’une telle couronne, de rayon intérieur \(r\) (donc de rayon extérieur \(r+a\)), a une surface un peu plus grande qu’un rectangle \(a \times 2 \pi r\). En alignant tous ces rectangles debout les uns à côté des autres, du plus petit vers le plus grand (imaginer les frères daltons, avec Joe à gauche, et Averell à droite), j’ai recouvert un triangle rectangle, dont le coté en bas est \(R\), et le coté à droite est \(2\pi R\) (c’est la hauteur d’Averell). Et les triangles rectangle, ça, Luna elle sait faire (elle qui s’était assoupie durant l’explication précédente se réveille soudain). On calcule, et miracle, voici la formule \(\pi R^2\) ! A nouveau, il y a le problème des chutes, mais on le résout de façon analogue, en prenant des couronnes très très fines, si fines que la poussière des chutes finit par disparaître sous le tapis du salon.
Et maintenant, pour ceux qui seraient tentés de faire les malins, un exercice:
Pouvez vous trouver une démonstration dans le même esprit de la formule de la surface d’une sphère (qui doit être \(4 \pi R^2\), si je me souviens bien).
Je ne sais pas faire, mais je crois que j’ai une bonne piste : il semble séduisant de chercher à se ramener à ce joli théorème (dont je viens d’apprendre qu’il est attribué à Archimède) qui affirme que la surface d’une sphère est égale à celle de son cylindre circonscrit (ou si vous préférez, si vous mettez une orange dans un verre à whisky, la surface de l’orange est égale à la surface du verre – le fond du verre ne comptant pas bien sûr).
Je me demande parfois si à force d’enseignements sophistiqués on ne risque pas de perdre de vue la vraie raison des choses. La vraie raison, par définition, c’est celle qui peut être expliquée avec le bagage mathématique minimal. Prenez par exemple le fait qu’il n’existe que 5 solides platoniciens, comme les amateurs de jeux de rôle le savent bien (encore qu’il ne faut pas confondre un dé à 10 faces avec un solide platonicien). J’ai l’impression que c’est un sujet classique de développement à l’agrégation, pour illustrer des concepts un peu sophistiqués de théorie des groupes (mais bon je peux me tromper, je n’ai jamais enseigné en prépa agreg. D’ailleurs, pour tout dire, je n’ai même jamais passé l’agreg). Ce n’est que récemment que je me suis rendu compte quelle était la vraie raison, je veux dire, l’argument de niveau CM2 !
Je vous laisse trouver vos propres bonnes raisons, pour cette question (indices sur demande) ou pour tout autre problème qui croisera votre route !
ÉCRIT PAR
Stéphane Lamy
Professeur - Université Paul Sabatier, Toulouse 3
19h00
Découpons le cercle comme un gâteau : en plein de parts égales.
Si ce nombre de parts est très grand, chacune va ressembler à un triangle. Disons que sa base est le côté sur le bord du cercle et sa pointe est le centre du cercle. Le rapport entre la surface du triangle et la base du cercle est, comme le sait Luna, R/2.
Or, toutes les bases mises bout à bout forment presque le tour du cercle. Et tous les triangles mis bout à bout forment le cercle.
Comme le sait Luna, quand on ajoute ensemble des termes ayant le même facteur de proportionnalité, cette proportion est conservée. Le rapport entre la surface du cercle et son périmètre est donc aussi R/2. Si on sait que l’un vaut 2πR, l’autre vaut \(πR^2\) et réciproquement.
(Si a est la base des triangles, sa surface est aR/2. Si n est le nombre de triangles, le périmètre du cercle est en gros na et sa surface en gros naR/2. Si n devient très grand, na tend donc à valoir 2πR et naR/2 se rapprochera donc de 2πR.R/2, soit \(πR^2\).)
11h49
En effet, on peut aussi découper le disque en part de gâteau. En fait, il y a deux paramètres naturels sur le disque : le rayon et l’angle. Dans mon billet j’ai choisi de découper le disque en couronnes, c’est à dire de prendre des morceaux infinitésimaux de rayons fois [0,π/2] ; alors que toi tu prends des triangles, c’est-à-dire [0,R] fois des morceaux infinitésimaux d’angle.
J’aime bien ma façon parce-que :
1) C’est celle qui m’est venu à l’esprit en premier ;
2) Le but pédagogique était de comprendre le π du périmètre devait intervenir dans la formule de la surface ; du coup il me semble naturel d’empiler des cercles épaissis (les couronnes), alors que dans ta façon les π sont cachés dans les morceaux infinitésimaux d’arc de cercle, on ne les voit plus très bien !
3) Dans l’idée de passer en dimension 3, et de déduire le volume de la boule à partir de la formule pour la surface de la sphère, il me parait plus simple de faire des sphères épaissies plutôt que des pyramides (certes idéalement Luna devrait savoir calculer le volume d’une pyramide, mais dans la vraie vie elle ne sait pas…)
Evidemment la première raison est la principale, ce qui explique pourquoi les deux suivantes sont un peu teintée de mauvaise foi…
20h03
J’ai adoré ton billet ! Et j’ai besoin d’indices (sur le prochain billet ?)
Jacques
12h00
Merci !
Pour les indices, voici la stratégie que j’ai en tête :
Démontrer la formule d’Euler $S – A + F = 2$, où $S$, $A$ et $F$ sont respectivement le nombre de sommets, arêtes et faces d’un polyèdre convexe (régulier ou non). Je connais au moins deux preuves élémentaires de celle-ci.
En déduire qu’on peut attribuer une courbure à chaque face d’un polyèdre convexe, de façon à ce que la somme des courbures fasse toujours 4 (par exemple).
La formule pour la courbure d’une face $F$ serait
\[2 – d(F) + \sum \frac{2}{d(v)}\]
où $d(F)$ est le nombre de sommets de $F$, $d(v)$ est la valence d’un sommet, et la sommet court sur les sommets de $F$.
Conclure !
PS : dans ma réponse à François ci-dessus, je voulais écrire