La dinde et les Gaussiennes

Nassim Nycholas Taleb dans son livre « Le cygne noir » raconte une histoire qui s’apparente largement à celle-ci. Aux environs de Noël, la dinde est heureuse, elle se pavane de joie… et si on devait lui faire prédire l’avenir, elle serait résolument optimiste : demain sera pareil à aujourd’hui et je recevrai plus que mon lot de nourriture. Et elle a bien raison d’être optimiste la dinde… en tout cas, jusqu’au 22 ou 23 decembre, où les choses deviennent plus scabreuses pour elle.

Par cette parabole, Nassim Nycholas Taleb nous explique que si dans notre vie certaines périodes sont “gouvernées” par la Gaussienne -et assez facilement prévisibles-, certains moments clé de notre vie sont eux gouvernés par des lois de hasard bien différentes.

En termes probabilistes, nous dirions que ces “périodes gaussiennes” correspondent à une accumulation (somme) de phénomènes (variables aléatoires) répétitifs (de même loi) sans grande ampleur (de variance constante). Ces périodes tombent sous l’attraction de la loi Gaussienne à cause du Théorème de la Limite Centrale (Abraham de Moivre et Pierre Simon Laplace, vers 1738).

Plus précisément, si \(X_1,\ldots,X_n,\ldots\) est une suite de variables aléatoires indépendantes, identiquement distribuées, de moyenne \(m\) et de variance \(\sigma^2\), la suite de variables aléatoires
\[Z_n=\sqrt{n} \left ( \frac{\sum_{i=1}^nX_i}n-m \right)\]
admet pour loi limite une loi normale centrée de variance \(\sigma^2\).
Ceci signifie simplement que quand \(n\) est assez grand, on peut approximer avec une assez bonne précision la probabilité que la variable \(Z_n\) soit dans un ensemble \(A\)
\(P(Z_n\in A)\), par la probabilité que donne à l’ensemble \(A\) la mesure gaussienne associée. D’où la facilité de prédiction des phénomènes qui tombent dans cette attraction gaussienne.

Toute autre chose est le comportement des phénomènes extrémaux. Les crues d’une rivière, les sinistres qui ruinent brutalement les compagnies d’assurance, les pertes inattendues d’une banque, sont eux régis par l’attraction vers les lois dites extrêmes.
Lorsqu’au lieu de chercher la loi limite d’une somme de variables indépendantes, on cherche la loi d’un maximun (ou un minimum) de variables. Plus précisément, si on cherche des suites “normalisatrices” \(a_n\) et \(b_n\), telles que
\[W_n=a_n(\max(X_1,\ldots,X_n)-b_n)\]
admette une loi limite, on s’aperçoit de phénomènes plus étranges, comme le fait que suivant les cas \(a_n\) peut devoir tendre vers l’infini ou zéro, de même que \(b_n\), ou encore que la loi limite appartient à une famille assez vaste qui contient les lois de Gumbel, de Frechet et Weibul. Pas étonnant que ces phénomènes soient plus difficilement prévisibles… Et pourtant, les révolutions, les famines, l’extinction des espèces, les guerres relèvent de phénomènes de ce type…