La logique c’est pas logique !

C’est ce qu’a déclaré ma fille quand on lui a expliqué que \(p\Rightarrow q\) est vrai ⁴Elle a un peu mieux accepté cette bizarrerie quand sa sœur lui a expliqué que son prof lui avait dit qu’il fallait nier la phrase pour comprendre: \(p\Rightarrow q\) veut dire qu’on ne peut pas avoir \(p\) sans avoir \(q\), et donc le contraire est que l’on peut avoir \(p\) et \(\overline q\) (où \(\overline q\) est la négation de \(q\)), et donc que \(p\Rightarrow q\) est la même chose que « \(\overline p\) ou \(q\) », et donc est vrai si \(p\) est faux. si \(p\) est faux. Il faut bien avouer que la logique réserve parfois des surprises de taille.

L’Institute for Advanced Study de Princeton fête ses 80 ans cette année, ce qui a donné lieu à deux journées de gala avec des conférences données par des orateurs prestigieux. Dans l’une d’entre elles, Vladimir Voevodsky nous a expliqué, probablement en hommage a Gödel (un des grands anciens de l’Institut), pourquoi il pensait que l’arithmétique était non consistante. Pensée un peu angoissante, mais pas totalement absurde, l’arithmétique élémentaire étant nettement plus mystérieuse que ce que l’on pourrait imaginer comme le montre l’exemple des suites de Goodstein.

On part d’un entier \(n\) que l’on écrit en base \(2\), les exposants (et les exposants d’exposants, etc.) étant
aussi écrits en base \(2\): par exemple, \(21\) sera écrit sous la forme \(2^{2^2}+2^2+1\). On remplace les
\(2\) par des \(3\); on enlève \(1\), on réécrit le résultat en base~\(3\), on remplace les \(3\) par des \(4\),
on enlève \(1\), on réécrit le résultat en base \(4\), et on continue. Par exemple, en partant de \(21=2^{2^2}+2^2+1\), on obtient successivement \(3^{3^3}+3^3+1\), puis \(3^{3^3}+3^3\), puis \(4^{4^4}+4^4\), puis \(4^{4^4}+3\cdot 4^3+3\cdot 4^2+3\cdot 4+3\), puis \(5^{5^5}+3\cdot 5^3+3\cdot 5^2+3\cdot 5+3\), etc. Ce dernier nombre a déjà plus de \(20\,000\) chiffres en écriture
décimale, et il est clair que la suite explose très très vite…

Pourtant, « la » vérité est que cette suite tend ⁵ Si tous les termes sont non nuls, et si on remplace par \(\omega\) les \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), etc. qui apparaissent dans les écritures des termes successifs de cette suite, où \(\omega\) est un ordinal infini, on obtient une suite strictement décroissante d’ordinaux, ce qui est impossible… vers~\(0\), quel que soit le choix du terme initial \(n\) (i.e.~est constante, égale à \(0\), à partir d’un certain rang), mais que ceci n’est pas démontrable ⁶Les ordinaux de la note précédente ne sont pas des objets de l’arithmétique de Peano; je ne sais pas  comment on démontre que le résultat n’est pas prouvable dans l’arithmétique de Peano, et j’avoue que ce flou participe à la magie de l’énoncé… dans l’arithmétique ordinaire (de Peano)…