La troisième dimension du théorème de Céva

Des droites issues des sommets d’un triangle sont concourantes ou parallèles si, et seulement si, le produit des rapports de section ³Si \(X\) est un point de la droite \(AB\), alors \(\overrightarrow{AX}=\lambda\overrightarrow{AB}\) pour un certain nombre \(\lambda\) et le rapport de section de \(X\) par rapport à \([A,B]\) est
\[\frac{\overrightarrow{AX} }{\overrightarrow{XB} }=\frac{\lambda}{1-\lambda}\] de leurs intersections avec les côtés opposés, calculés par rapport à ces côtés ⁴Plus précisément, avec les notations de la première figure, il s’agit des rapports de \(A’\) par rapport à \([B,C]\), \(B’\) par rapport à \([C,A]\) et de \(C’\) par rapport à \([A,B]\)., vaut 1.

Tel est le théorème de Ceva. C’est un théorème du plan mais il donne lieu de manière inattendue à quelques images en dimension trois non dénuées d’une certaine beauté.

Nous utiliserons dans la suite les notations de la figure ci-dessous. Nous appellerons \(A’,B’,C’\) les {pieds} des {céviennes} \(AA’\) etc.

Les ceviennes

Notons \(x,y,z\) les rapports de section dont il est question dans l’énoncé. Le lieu des points \((x,y,z)\) pour lesquels les trois droites sont parallèles ou concourantes est une surface \(\mathcal C\) de \(\mathbb R^3\), d’équation \(xyz=1\). En voici un aperçu.

La surface \(\mathcal C\) des ceviennes parallèles ou concourantes

Elle présente quatre nappes. L’une décrit les céviennes dont les pieds sont situés {entre} les sommets des côtés auxquels ils appartiennent – celles qui se coupent en un point intérieur au triangle, pour lesquelles \(x,y,z>0\); les trois autres représentent les cas où un seul pied a cette propriété.

Le lieu des \((x,y,z)\) décrivant des céviennes \emph{parallèles} est une courbe \(\mathcal P\) de \(\mathbb R^3\), illustrée ci-dessous.

La courbe \(\mathcal P\) des droites parallèles

Elle possède trois branches. Elles sont gauches. Il est facile de voir qu’elle admet en effet le paramétrage
\[
x\mapsto (x,-\frac{x+1}{x},-\frac{1}{x+1})
\]
et que les branches s’obtiennent en laissant varier \(x\) dans les intervalles
\[
]-\infty,-1[, \quad ]-1,0[ , \quad ]0,+\infty[
\]
en dehors desquels ce paramétrage n’est pas défini.

Dans le premier, \(x\) et \(y\) sont négatifs; dans le second, c’est \(x\) et \(z\) qui le sont tandis que dans le troisième, c’est \(y\) et \(z\). Chaque branche est donc située sur une des trois nappes de la surface \(\mathcal C\) correspondant à des céviennes qui ne se coupent pas en un point intérieur au triangle \(ABC\). Ceci se voit aussi sur la figure suivante, dans laquelle la surface \(\mathcal C\) est ajourée pour souligner le caractère gauche de \(\mathcal P\).

La courbe \(\mathcal P\) sur la surface \(\mathcal C\)

Les coordonnées des points de \(\mathcal P\) vérifient manifestement l’équation
\[
xy+x+1=0
\]
Ses solutions décrivent un cylindre hyperbolique dont les génératrices sont parallèles à l’axe des \(z\). Nous l’appellerons \(\mathcal I\). Une de ses nappes contient deux branches de \(\mathcal C\); l’autre contient la troisième.

Le cylindre hyperbolique \(\mathcal I\) contient aussi \(\mathcal P\)

La courbe \(\mathcal P\) admet en fait les équations cartésiennes
\[
\left\{
\begin{matrix}
xyz=1\\
xy+x+1=0
\end{matrix}
\right.
\]
Elle est donc l’intersection de \(\mathcal C\) et du cylindre \(\mathcal I\). La figure ci-dessous représente cela, dans laquelle cette fois \(\mathcal I\) n’est pas ajouré.

La courbe \(\mathcal P\) est l'intersection entre la surface \(\mathcal C\) et le cylindre \(\mathcal I\)

L’équation \(xy+x+1=0\) n’est pas symétrique en \(x,y,z\). Toutefois, moyennant la condition \(xyz=1\), elle est équivalente à \(zx+z+1=0\). Cette équation est celle d’un second cylindre hyperbolique contenant \(\mathcal P\), disons \(\mathcal J\). On a \(\mathcal P=\mathcal I\cap \mathcal J\).

La courbe \(\mathcal P\) est aussi l'intersection des cylindres \(\mathcal I\) et \(\mathcal J\)

Sur la surface \(\mathcal C\), l’équation \(zx+z+1=0\) est à son tour équivalente à \(yz+y+1=0\). C’est l’équation d’un troisième cylindre, \(\mathcal K\), qui contient encore \(\mathcal P\) : \(\mathcal I\cap \mathcal J\cap \mathcal K=\mathcal P\).

Les trois cylindres \(\mathcal I\), \(\mathcal J\) et \(\mathcal K\)

Les cylindres \(\mathcal I\), \(\mathcal J\) et \(\mathcal K\) sont trois manifestations géométriques de la condition de parallélisme des céviennes. Ces manifestations correspondent à des expressions analytiques équivalentes de cette condition, mais qui ne sont pas pour autant formellement identiques.

Le bouquet final