Le théorème de Pythagore : un petit guide

Un petit guide pour découvrir le théorème de Pythagore avec Images des Mathématiques.

Le théorème de Pythagore est un peu la marotte des géomètres, il n’est donc pas surprenant qu’il apparaisse régulièrement dans les articles d’Images des Mathématiques. Pour vous aider à vous y retrouver, nous vous proposons un dossier regroupant les textes du site qui permettent de se familiariser avec le théorème de Pythagore, de le digérer et d’ouvrir quelques horizons nouveaux. Il nous a semblé que ce dossier pourrait être utile aux professeurs, élèves, et étudiants ⁹et, comme d’habitude, à toute personne intéressée par les mathématiques.

Attention, Images des Mathématiques ne propose pas de textes scolaires directement en lien avec les programmes. Vous ne trouverez donc pas de cours tout faits, ou d’exercices corrigés, mais peut-être la lecture des textes que nous vous proposons vous permettra-t-elle de consolider vos connaissances, d’interroger votre vision du théorème, de lire un texte à plusieurs en le décortiquant, en le critiquant, en le partageant et en partageant vos frustrations et vos émerveillements : les mathématiques, c’est comme ça que ça marche.

De quoi parle-t-on ?

Bon, alors, le théorème de Pythagore c’est quoi :

Le côté le plus long est toujours celui qui fait face à l’angle droit; on peut donc aussi définir l’hypoténuse comme le côté opposé à l’angle droit.
Le nombre \(a^2=a\times a\) est égal à l’aire d’un carré dont le côté est de longueur $a$; si le théorème parle de relations entre les longueurs des côtés, il parle donc aussi, en filigrane, d’aires de certains carrés ¹¹Le vocabulaire est à la fois excellent et trompeur. Le carré du nombre \(a\) c’est le nombre \(a\times a\), que l’on note \(a^2\); prendre le carré de \(a\), c’est donc calculer le résultat de l’opération \(a\times a\). Si on dessine un carré (ici je parle de la figure géométrique !) dont les côtés ont longueur \(a\), alors l’aire de ce carré vaut \(a\times a\). Il y a donc deux notions de «carré», l’une algébrique (\(=a\times a\)), l’autre géométrique (\(=\) la figure), qui sont liées par le calcul de l’aire. En ce sens, le vocabulaire employé est trompeur, puisqu’on emploie le même terme pour deux notions distinctes; mais il est excellent car il permet justement de perpétuellement garder en tête le lien entre calcul algébrique et géométrie.. Nous sommes maintenant parés pour visiter le dossier d’Images des Mathématiques sur le sujet.

Pour commencer : la géométrie !

Si vous débutez vraiment avec le théorème de Pythagore, le mieux n’est certainement pas de démarrer avec Images des Mathématiques. Une introduction parfaite est fournie sur la délicieuse chaine de Mickaël Launay,
Micmaths, en une série de 8 vidéos, chacune de quelques minutes.
Après avoir présenté le personnage Pythagore, Launay décrit le théorème, une démonstration de celui-ci et quelques exemples, puis la réciproque du théorème (vidéos 2, 3, 4 et 6)¹²La cinquième concerne une reformulation du théorème dans des rectangles, et son extension aux parallélogrammes; les épisodes 7 et 8 nécessitent de connaître la notion de vecteur. . Avec ces quatre vidéos, soit environ un quart d’heure d’attention, vous êtes bien armés ! Une démonstration alternative est décrite dans l’article Découpage d’Airy et théorème de Pythagore,
et une autre, plus délicate, dans Encore une preuve du théorème de Pythagore.

Vous verrez dans ces deux premiers articles et la vidéo numéro 3 de Mickaël Launay que les démonstrations proposées sont toutes du même type: la relation de Pythagore \(c^2=a^2+b^2\) est interprétée comme une égalité entre trois aires, et pour établir cette égalité, les auteurs utilisent des méthodes de découpages et collages pour réarranger les figures, sans changer les aires.
Le problème de déterminer à quelle condition une figure géométrique est équivalente à une autre par découpage/collage, et de déterminer le découpage le plus économe, est un problème mathématique élégant et amusant, qui a motivé de nombreuses recherches ¹³Y compris des recherches récentes fondamentales; mais les notions de figure, découpage et collage n’y sont plus limitées à la géométrie euclidienne du plan. Voici, en vrac, trois textes «piste bleue»
qui concernent ce sujet tout en mettant en avant le théorème de Pythagore :

• La quadrature du triangle
• Un triangle et une énigme
• Aires et volumes, découpages et recollements

 

Si vous affectionnez simultanément littérature et mathématique, le mieux est sans doute d’extraire par vous même une preuve du théorème dans la nouvelle d’Enrico Castelnuovo intitulée « Le théorème de Pythagore » ¹⁴Personnellement, je n’aime pas trop cette démonstration que je trouve bien alambiquée, mais elle offre un bel exercice de géométrie, et la nouvelle d’Enrico Castelnuovo est un délice d’auto-dérision et d’amour paternel.. Et pour conclure ce premier chapitre géométrique, dépêchez-vous de contempler Un arbre pythagoricien.

Pour continuer : des nombres entiers

Le théorème de Pythagore est souvent employé pour calculer des longueurs. Voici un exemple de problème que j’aime beaucoup. Deux rails de chemin de fer de dix mètres de long ont été posés, par mégarde, sans laisser d’interstice entre eux : ils sont à touche-touche. L’été arrive, et les rails se dilatent sous l’effet de la température : ils s’allongent de 1 pour cent et se repoussent l’un l’autre, comme sur la figure ci-dessous. Estimer la hauteur h d’élévation au point de contact des deux rails ¹⁵Notons \(L\) la longueur d’un rail; par hypothèse \(L\) vaut 10 mètres. Notons \(p\) le pourcentage de dilatation: \(p=1/100=1\)%. Après réchauffement, la longueur de chaque rail est donc \(L+pL\). Considérons le triangle dont les sommets sont \(A=\) le point d’attache du premier rail, \(B=\) le point de contact initial des deux rails, et \(D=\) le point de contact des rails après dilatation (vous pouvez vous reporter à la figure ci-dessus). C’est un triangle rectangle en \(B\); nous pouvons donc lui appliquer le théorème de Pythagore. Les longueurs des côtés étant \(L\), \(h\) et \(L+pL\), nous obtenons \[(L+pL)^2=L^2+h^2.\] Une fois développé, le terme de gauche vaut \(L^2+2pL\times L+ p^2L^2\); retranchant \(L^2\) des deux côtés nous obtenons donc la relation \[h^2=2pL^2+p^2 L^2.\] Avant de calculer \(h\) précisément, remarquons qu’en négligeant le terme \(p^2L^2\) nous parvenons à la minoration \(h^2\geq 2pL^2\), ce qui donne \[ h\geq \sqrt{2p} \times L;\] ainsi, revenant aux valeurs exactes de \(p\) et \(L\), nous trouvons \(\sqrt{2p}\geq 1.4/\sqrt{100}\geq 0.14\) et \(h\geq 1.41\) mètre. La valeur plus précise obtenue en ne négligeant aucun terme est \(h=1.4177…\) mètres. Les rails s’élèvent donc d’environ \(1.4\) mètres ! Bien sûr, cet exemple n’est pas réaliste. Prenons un allongement inférieur, de \(0.01\)% (ce qui est le bon ordre de grandeur pour des barres d’acier). Ainsi, \(p=1/10000\). Alors les rails s’élèvent d’environ \(1.4\) cm . Ce calcul illustre bien le charme du théorème de Pythagore, déjà évoqué ici ¹⁶Je remercie Andrés Navas de m’avoir indiqué la tribune de Pierre Gallais : l’exercice final qu’il propose à la fin de son texte est le même (pour des ficelles) que celui concernant les rails de chemin de fer.

Mais le théorème de Pythagore recèle quelques trésors arithmétiques, liés à la notion de triplet pythagoriciens. Ce sont les triplets de trois entiers positifs a, b, et c tels que a2+b2=c2. Par le théorème de Pythagore et sa réciproque, il s’agit des triplets d’entiers qui sont les longueurs des côtés d’un triangle rectangle tel que (1) les longueurs des côtés sont tous des nombres entiers et (2) c correspond à l’hypoténuse. Ces triplets pythagoriciens ont des propriétés remarquables : consultez donc

• Quelques propriétés des carrés parfaits pour un premier aperçu.
• Trouver toutes les diagonales pour un aspect historique (que l’on pourra compléter avec Mathématiques en Mésopotamie), et
• Pythagore et mixité pour une description plus complète menant à un problème de recherche ouvert.

Et dans Les décimales de π, vous verrez, en passant, comment le théorème de Pythagore intervient dans le calcul du périmètre d’un polygone et, in fine, l’estimation du nombre π=3.141592….

Un peu d’astronomie

Nous nous éloignons maintenant beaucoup plus des notions élémentaires évoquées par l’apprentissage de la géométrie au collège ! Mais il serait dommage de passer à côté des articles suivants, accessibles sans un grand bagage mathématique :

• Planètes mathématiques
• Il y a quatre cents ans … Sidereus Nuncius

Si le premier évoque bien plus l’école pythagoricienne que le théorème de Pythagore, le second vous apprendra comment utiliser le théorème, avec Galilée, pour estimer la hauteur des montagnes sur la lune. Chronologiquement, Galilée est à mi-chemin entre Li Ye (1192—1279) et nous : K. Chemla décrit un passage des écrits de Li Ye dans Une figure peut en cacher une autre.

Géométrie, programme et débats

Le théorème de Pythagore occupe une place de choix en géométrie, que ce soit pour la géométrie euclidienne du plan, celle que l’on utilise le plus souvent et qu’on enseigne au lycée. Mais il intervient bien sûr en dimension supérieure, et dans d’autres géométries :

• La boule et le cube, en grande dimension
• Les triangles d’Euclide, de Gauss et de Gromov.

Aussi, lorsque son enseignement est remis en cause, les mathématiciens en débattent avec vigueur :

• Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle ?
• Collèges : veut-on mettre la géométrie à la poubelle
• Le goût des maths

Bonne lecture

Cette introduction au dossier Pythagore ne concerne que les articles de pistes vertes et bleues qui utilisent ou présentent le théorème de Pythagore. Il y a aussi des articles plus difficiles d’accès. En piste rouge :

– Mesurer un angle avec une balance
– Une Quæstio médiévale : est-ce que la diagonale d’un carré est commensurable au côté de ce carré ?
– Pythagore et les courbes de Polya

Et encore plus confidentiels, Une correspondance algébrique, et Ornements et cristaux, pavages et groupes (I). Bonne lecture.