L’énigme des pentagones

Une conjecture qui fut un théorème pendant sept ans

Choisissez un polygone \(P \) convexe, c’est-à-dire sans angle rentrant. Supposez maintenant que vous disposiez de beaucoup d’exemplaires de \(P\) (que vous pouvez imaginer en carton ou en céramique) ; disons une infinité !

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Est-il possible de paver le plan avec ces exemplaires de \(P\) ?

Il s’agit de les placer côte à côte pour qu’ils s’ajustent bien, et que le plan soit entièrement recouvert sans laisser d’espace libre entre les pavés.

Les triangles et les quadrilatères

Si \(P\) a trois côtés, c’est-à-dire s’il s’agit d’un triangle, c’est toujours possible. Partez par exemple du triangle bleu foncé, et adjoignez-lui son symétrique (en bleu clair) par rapport au milieu d’un côté. On obtient un parallélogramme et ensuite, c’est gagné : il suffit de mettre les parallélogrammes côte à côte, de manière périodique.

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Si \(P\) est un quadrilatère, la réponse est encore positive : on peut toujours paver le plan. Je vous laisse le plaisir de découvrir pourquoi.

Plus de sept côtés

Si \(P\) a plus de sept côtés, on sait depuis longtemps que c’est impossible. la démonstration n’est pas assez facile pour être exposée en détails ici.

Il reste donc deux cas : les pentagones et les hexagones.

Les hexagones

Dans sa thèse à l’université de Francfort en 1918, K. Reinhardt détermine la liste complète des hexagones qui pavent le plan. Il y a trois familles. Voici l’une d’entre elles :

Ici, on impose que\(A+B+B=360^o\), \(C+E+F=360^o\), \(a=d\) et \(c=e\).
Pour les deux autres types, voir ce site.

Le « théorème » de Kershner pour les pentagones

En 1968, Kershner règle le cas des pentagones : il publie un article contenant la liste de tous les pentagones qui pavent le plan.

Celui qui me plaît le plus est appelé le pavage du Caire puisque, dit-on, une avenue de cette ville est (ou était) pavée de cette manière. Voir ce site pour une jolie présentation de ce pavage.

Le pavage du Caire

Richard James et Marjorie Rice

En 1975, Martin Gardner, le célèbre divulgateur des mathématiques eut l’excellente idée de présenter le théorème de Kershner dans sa rubrique « Jeux mathématiques » du journal Scientific American. Malheureusement pour Kershner, et heureusement pour les mathématiques, l’article de Gardner entraîna la chute du théorème de Kershner !

Tout d’abord, lorsque Richard James III, un informaticien californien, vit le résumé de l’article de Gardner, il décida de ne pas le lire et d’essayer de trouver seul tous les pavages de Kershner. Lorsqu’il compara par la suite sa liste de pavages avec les dessins du Scientific American, il comprit qu’il avait découvert un pavage qui n’était pas dans la liste Kershner, pourtant supposée complète. Le théorème de Kershner était faux.

Voici le nouveau venu, le pavage qui n’était pas dans la liste de Kershner.

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Lorsque le numéro du Scientific American arriva dans la ferme californienne de la famille Rice, la mère de famille, Marjorie Rice, ouvrit le journal un peu par hasard puisqu’il était en fait destiné à son fils. Marjorie avait une éducation secondaire mais aucune formation mathématique solide ; elle fut attirée par les jolies figures présentées dans l’article de Gardner. Elle commença à contempler ces pavages par pentagones, prit son crayon, fit des essais, et finalement découvrit … un nouveau pavage qui n’était pas dans la liste de Kershner.

Le théorème de Kershner était donc faux, et doublement faux ! Marjorie n’avait pas été impressionnée par le fait que le « théorème » de Kershner était publié dans une revue mathématique. Par la suite, elle a découvert d’autres pavages pentagonaux.

Voici les 14 familles de pavages par pentagones connus à ce jour ³Un lecteur attentif m’a demandé où se trouvait le pavage du Caire parmi ces 14 familles. Les pavages d’une même famille dépendent en fait de « paramètres », c’est-à-dire qu’on peut choisir à volonté certaines longueurs des côtés du pentagone et certains angles et que les autres longueurs et les angles s’en déduisent par une certaine relation. Le pavage du Caire est en fait un cas particulier dans la famille 2, lorsque les 5 côtés sont de même longueur..

Les 14 pavages connus par pentagones

Les 14 pavages connus par pentagones (cliquer pour agrandir)

Les cinq premiers ont été découverts par Reinhardt ; les trois suivants sont ceux de Kershner ; le dixième est celui de James ; les neuvième, onzième, douzième et treizième sont ceux de Rice et le dernier a été découvert par Rof Stein en 1985. Cette liste fait un peu penser à la découverte des petites planètes dont beaucoup ont été faites par des amateurs.

Comment un journal mathématique a-t-il pu publier un théorème faux ? Ce sont bien sûr des choses qui arrivent et on ne peut empêcher les erreurs, même en mathématiques. L’article n’a-t-il pas été vérifié avant d’être publié ? Si on y regarde de plus près, on verra que Kershner n’a pas vraiment publié une démonstration ; il s’est contenté d’annoncer son théorème en écrivant que « la preuve que les listes des théorèmes 1 et 2 sont complètes est extrêmement laborieuse et sera publiée ailleurs » ⁴« The proof that the list in Theorems 1 and 2 is complete is extremely laborious and will be given elsewhere ».. Il arrive parfois que des mathématiciens « annoncent » leurs résultats en promettant une preuve pour plus tard. C’est quelquefois utile si l’on craint une concurrence, mais c’est aussi très dangereux si on n’est pas sûr de sa preuve ! C’est au moins le point de vue de celui qui annonce un résultat. Pour la communauté scientifique, il est bien sûr utile d’être rapidement au courant des résultats obtenus, mais cela peut bloquer les recherches d’autres chercheurs sur la même piste puisqu’ils peuvent avoir tendance à abandonner.

L’énigme des pentagones

Quels sont les pentagones convexes qui pavent le plan ?

La question est donc ouverte à ce jour. On connaît beaucoup d’exemples mais la liste est-elle complète ?

Un pavage du plan étant donné, il arrive souvent qu’il possède des symétries. Par exemple, il peut être préservé par deux translations dans deux directions différentes. Si c’est le cas, on dit que le pavage est périodique. Les figures précédentes montrent toutes des pavages périodiques.

En assemblant plusieurs types de polygones, on peut fabriquer de magnifiques pavages qui ne sont pas périodiques. Les premiers exemples furent découverts par Wang, Berger, Penrose et Amann en 1964, 1970 et 1974, puis redécouverts « dans la nature » par Shechtman, sous la forme de quasi-cristaux en 1982. C’est cette découverte expérimentale des quasi-cristaux qui a valu à Shechtman le prix Nobel de chimie 2011. Voir cet article pour plus de détails.

Mais existe-t-il un quasi-cristal pentagonal ? Plus précisément, existe-t-il un pentagone convexe qui pave le plan mais qui ne le pave pas périodiquement ? S’il en existait un, ce serait magnifique.

Merci à Richard James III et Marjorie Rice : deux mathématiciens amateurs. Sans eux, nous serions encore probablement dans l’erreur et le problème des pentagones qui pavent serait considéré comme résolu.

Pour en savoir plus

Pierre de la Harpe : Quelques problèmes non résolus en géométrie plane, L’Enseignement Mathématique 35 (1989), 227-243. Superbe article !

Doris Schattschneider : Tiling the Plane with Congruent Pentagons, Mathematics Magazine, Vol. 51, (1978), 29-44. Si vous lisez l’anglais, à ne pas manquer !

R.B. Kershner : On paving the plane, American Math. Monthly 75 (1968), 839-844.

Marjorie Rice : Intriguing tesselations. Le site internet de Marjorie Rice.

B. Grünbaum et G. C. Shephard Tilings by polygons. Tilings and Patterns. New York : W. H. Freeman and Company. (1987) ISBN 0-7167-1193-1. La bible sur le sujet.