Les mots en mathématiques : connaitre-inconnu

Professeur en classes préparatoires ATS pour lui, ancienne professeur en classes préparatoires (MPSI, PC, BL) reconvertie dans l’accompagnement individuel pour elle, nous avons écrit le livre intitulé « Parlez-vous maths » (sous-titre « Le langage mathématique dans tous ses états » ; illustrations Anne Fioc). Ce livre est sorti en novembre 2014, aux Éditions EDPSciences. Étienne Ghys et Fabrice Planchon nous ont fait l’honneur de le lire et Fabrice nous a sollicités pour écrire quelques billets dans cette rubrique. Nous avons accepté avec grand plaisir. Nous nous proposons dans ces billets de reprendre et de développer quelques unes des idées exposées dans notre livre.

 

« Pour faire des maths, il ne faut pas avoir peur de l’inconnu. »

Très vite, dans les cours de mathématiques au collège, puis plus encore en lycée, on apprend à mettre en équations un problème, à identifier de quelles sortes d’équations il s’agit (premier degré ou second degré, équation linéaire, équation différentielle, etc.), puis à les résoudre, de manière exacte, ou approchée, ou simplement à montrer qu’une solution existe.

Qu’est-ce que l’inconnu évoque dans l’imaginaire de l’élève ?

Dans le langage courant, l’inconnu n’est pas toujours connoté positivement. Il peut même faire peur. Il fascine certains esprits aventuriers, et effraie les timides.

Examinons d’abord les différents sens donnés sur le site du CNRTL (centre national de recherche textuelle et lexicale) ⁷http://www.cnrtl.fr/definition/inconnu

Dans l’usage mathématique, c’est évidemment le sens B qui est pertinent, mais on peut remarquer dans le sens A la phrase « dont l’existence est ignorée ».
On peut également éprouver une joie inconnue  à la compréhension soudaine d’un théorème ou bien à l’annonce de la découverte d’un résultat sur lequel on butait.
On peut aussi voir les mathématiques comme un continent inconnu que l’on cherche à explorer. À l’occasion de la médaille Fields attribuée à Maryam Mirzakhani en 2014, l’Union Mathématique Internationale a écrit : « … L’espace des modules est un monde où de nombreux territoires attendent d’être découverts … ».

Certains élèves, actuels ou anciens, se reconnaitraient peut-être dans les paroles de Zola : D’où venait donc cette angoisse? Quel pouvait être ce trouble inconnu, grossi doucement, devenu intolérable?

Dans quelle mesure ce terme peut-il rebuter ou bloquer les élèves ?
Quand les enfants sont petits, les parents leur recommandent de « ne pas discuter avec des inconnus », de ne pas « aller avec des inconnus ». En cours de mathématiques, au contraire, il faut fréquenter les inconnues ! Voire les chercher !
Le premier problème qui se pose à tout élève, c’est d’identifier les inconnues. Dans une mise en équations d’un problème, que l’on peut assimiler à une « traduction en maths » d’un problème énoncé en français, c’est souvent une difficulté pour un apprenti mathématicien. Qu’est-ce qu’on cherche ?
Donner un nom, souvent \(x\), à ce que l’on cherche, c’est déjà une façon de se l’approprier, de le rendre plus « connu ».
Bien sûr il y a les exercices techniques du style « résoudre l’équation \(2x+3=-x+7\) », où il n’y a pas d’ambiguïté sur l’inconnue. Mais que dire de l’énoncé : « Trouver \(a\) pour que l’équation \( (a+2)x-5=3x\) ait une solution ? Ou « déterminer \(\lambda\) pour que l’équation linéaire \(f(x)=\lambda x\) ait une solution différente du vecteur nul ? » (situation que l’on rencontre dans la recherche des valeurs propres). Quelles sont les inconnues -in fine- ? ⁸Dans le cas où il y a des paramètres dans une équation (par exemple dans le système linéaire conduisant à la recherche des valeurs propres) il y a une « discussion » à faire, portant sur les paramètres (et non sur les inconnues !). On retrouve ici l’injonction familiale, légèrement modifiée : « on ne discute pas sur les inconnues ! »
Dans le cas de la recherche des valeurs propres, il y a une double difficulté : les inconnues, in fine, ce sont les valeurs propres. Néanmoins, dans une étape intermédiaire, elles sont considérées comme des paramètres. Bien sûr, pour un mathématicien chevronné, cela ne pose aucun problème, mais au début, c’est compliqué.

Pour un élève, cela se complique si en plus, on note \(x\) un paramètre ou une variable du problème. Par exemple dans une question du bac S de 2015, Polynésie, on demande de démontrer que pour un point d’abscisse \(x\), \(\tan(\alpha)=|f’(x)|\), où \(\alpha\) est l’angle entre la tangente en \( M(x,f(x))\) et l’axe des abscisses. Pour cela, on a besoin d’écrire l’équation de la tangente : ce qui donne en général, \(y=f’(x)(x-x)+f(x)\)… Comment noter les inconnues dans ce cas ? Ici, le problème vient du double usage de la lettre \(x\), à la fois pour inconnue et pour variable. Cela bien sûr ne pose pas de problème à un professionnel, mais à un élève de terminale, sûrement.

Les inconnues, on est donc d’accord, on ne les connait pas et on les cherche. Mais que faire alors avec les paramètres de l’énoncé ? Fréquemment les élèves n’arrivent pas à faire un calcul parce qu’ils « ne connaissent pas » la valeur d’un paramètre. Cela renvoie donc à la question philosophique de « qu’est-ce que connaitre ? ».

Connaitre en français, a plusieurs sens. Considérons maintenant le Larousse  ⁹http://www.larousse.fr/dictionnaires/francais/c], on peut lire :

En maths cela pourrait être : je connais la solution de cette équation, c’est 2.

En maths cela pourrait donner : je connais la géométrie dans l’espace, j’ai eu un cours sur le sujet en Terminale.

En maths on peut trouver : il existe des nombres dont le carré est égal à -1, les nombres complexes i et −i.

Cela est assez clair pour les maths, c’est l’objectif de tout cours de maths !

En maths cela peut devenir : je sais résoudre une équation du second degré, ou un système linéaire.

En maths, on retrouve tous les théorèmes d’existence, par exemple une suite croissante et bornée qui converge, ou bien l’existence d’un zéro d’une fonction à l’aide du théorème des valeurs intermédiaires.

Connaitre une personne a aussi des sens très différents, variables en intensité. De plus, connaitre quelqu’un cela peut évoluer dans le temps (par exemple, plus ses enfants grandissent, moins on les connaît). Au départ c’est un inconnu, puis cela devient un paramètre de la vie . Et il y a aussi le fameux « Connais-toi toi-même ! ».

Il y a également plusieurs degrés d’intensité dans la connaissance. Pour illustrer notre propos, considérons Le Théorème de Fermat. Le degré 0 de la connaissance de ce théorème est simplement de savoir que Pierre de Fermat était (aussi) mathématicien ! Ensuite, par ordre croissant,

– on peut connaitre l’énoncé du théorème, plus ou moins précisément ;

– avoir entendu dire qu’il était resté à l’état de conjecture pendant 300 ans ;

– connaitre la légende de « la démonstration ébauchée par Fermat lui-même dans la marge d’un livre, non terminée faute de place » ;

– savoir qu’il a été démontré en 1994 par Andrew Wiles à l’aide des formes modulaires ;

– avoir compris les grands principes de la démonstration, exposée par d’autres ;

– ou encore avoir lu soi-même la démonstration, l’avoir comprise ;

– être capable de l’exposer dans les grandes lignes ;

– enfin degré « plus infini », être capable de la refaire en détail, de mémoire.

– Sans oublier le degré « moins l’infini », n’en avoir jamais entendu parler …

Qu’est-ce que ça veut dire connaitre dans un contexte mathématique ?

Une réflexion récurrente des élèves du lycée face à une question du type :
« – Calculer \(\int_0^1 \frac{1}{1+t} d t \) », (dont la réponse est \(\ln(2)\)), est « -mais on ne connaît pas \(\ln(2)\) ! ».
Citons ici un passage de notre livre ¹⁰voir edpsciences.fr

Pire, s’il y a un paramètre dans le problème, par exemple le sujet du bac S 2015, Amérique du Sud :
Soit \(a,b,c\) trois réels, et la fonction \(u(x)=a+\frac{b}{x}+\frac{c}{x^2}\). Déterminer \(u(1)\).
Réaction d’un élève : « mais on ne connaît pas \(a, b, c\), comment peut-on le calculer ? »

Le théorème de la bijection est un bon exemple des problèmes qui se posent aux lycéens. Ce théorème permet de démontrer qu’une équation du type \(f(x)=0\) a une unique solution ¹¹D’ailleurs, au passage, les élèves se demandent parfois qu’est-ce que c’est que ce théorème puisqu’il ne nous donne pas la solution… Cela nous renvoie aux « théorèmes d’existence ». Savoir que quelque chose existe, c’est déjà la connaitre un peu. . En général, on ne la « connaît » pas. (sinon, on ne se servirait pas de ce théorème…). On donne alors un nom à cette solution. Par exemple \(a\). Dans la suite du problème, on peut trouver une question du genre : « calculer la valeur de \(f’(a)\) ». Beaucoup d’élèves restent bloqués : comment faire, puisqu’on ne « connaît » pas \(a\) ? Or, pour un mathématicien, dans ce contexte, \(a\) est aussi connu que 2, ou encore \(\pi\), dans la mesure où il sait qu’il existe  ¹²Nous ne discuterons pas ici de ce que pourrait être la position des « constructivistes »..

On voit qu’il y a un vrai problème philosophique derrière ces réactions, ces questions, ces blocages. L’acte de nommer en mathématiques est très important, c’est comme un acte de naissance de l’objet mathématique. On peut remarquer que lorsqu’on nomme un objet mathématique, on fait l’hypothèse implicite de son existence. Une légende circulait sur les bancs de l’Université pendant nos études : un étudiant aurait fait une thèse sur un certain ensemble de fonctions, et lors de sa soutenance, un des membres du jury lui aurait fait remarquer que son ensemble était vide…La légende dit qu’il a quand même validé sa thèse. Le nom que l’on choisit pour les objets nécessite une réflexion sur leur nature. On doit donc les connaître, un peu.

Pour un mathématicien, connu cela veut dire, suivant les contextes :
-* qu’il pourrait le calculer s’il voulait (une solution d’équation du second degré par exemple),
-* qu’un théorème permet d’affirmer l’existence et éventuellement de trouver des valeurs approchées. C’est un sujet classique du bac S, utiliser le théorème de la bijection pour trouver le zéro d’une dérivée, en déduire les variations de la fonction, son extremum, etc. Ou encore, démontrer qu’une suite a une limite, et l’utiliser pour résoudre d’autres problèmes (la constante d’Euler existe bien…),
-* que c’est une donnée du problème (on pose \(a\) un réel positif, ou soit \(a\) un réel positif,..),
-* qui s’exprime en fonction ( autre terme mathématique polysémique, objet d’un prochain billet sans doute) d’une quantité connue,
-* ou encore qu’un autre mathématicien le connaît.

Connaître c’est parfois un simple point de vue sur un objet.
En effet, considérons l’énoncé suivant :
« on définit une suite \((u_n)\) par récurrence et on pose \((v_n)\) une suite auxiliaire. Trouver la relation de récurrence entre \(v_{n+1} \) et \(v_n\), puis exprimer \(u_n\) en fonction de \(v_n\) . »
Certains élèves qui bloquent sur « trouver \(u_n\) en fonction de \(v_n\) quand \(v_n=2u_n+4\) », alors qu’ils savent résoudre l’équation \(3=2x+4\), ou même parfois \(a=2x+4\), avec un paramètre. Ici, le blocage ne vient pas de la connaissance du cours, ni de la connaissance du mécanisme pour résoudre une équation du premier degré, mais de la confusion entre ce qui est connu, ce qui ne l’est pas.

Ces différents exemples illustrent la complexité pédagogique liée au langage, et en quoi cela peut être un point de blocage chez certains élèves : ils ne peuvent tout simplement pas répondre à la question.

Une autre utilisation du mot connaître, dans le cadre de l’enseignement des mathématiques, est « connaître son cours ». Clairement, pour le professeur et pour l’élève cela n’a pas le même sens.
Connaître son cours, cela veut dire pour un professeur pouvoir l’utiliser.
Un exemple simple : les élèves de terminale S qui découvrent les nombres complexes savent tous que \(i^2=-1\). Mais combien pensent à utiliser \(1/i=-i\) pour mettre \(\frac{3+i}{2i}\) sous forme algébrique par exemple ?

En d’autres termes, « connaitre » le résultat \(i^2=-1\), c’est savoir « aussi » ce qu’on peut en déduire. Se pose alors la question sans réponse : jusqu’où un élève est-il « responsable » de ces prolongements ?

Connaître son cours c’est également savoir ce qu’on doit connaître, avec les limites de ces connaissances. Savoir ce que l’on sait faire évite de rester coincé ou de s’embarquer vers des pistes infructueuses. Par exemple si on doit résoudre l’équation \(z+\frac{2}{z}=1\), le fait de savoir qu’on ne sait résoudre que des équations du premier ou du second degré nous fait penser à transformer le problème en un problème connu (tiens tiens..), ici, en équation du second degré.
Penser à transformer un problème nouveau en un problème « connu », c’est là un « fil rouge » pour continuer.

Il est admis que l’on connaît tous les nombres entiers: ils ont tous potentiellement un nom et une écriture chiffrée, on sait comment les générer. Les nombres premiers sont « les briques » avec lesquelles sont construits tous les nombres. Pourtant, on ne les connaît pas tous, on ne sait pas tous les générer, il reste encore bien des mystères à propos de ces nombres.

Une fraction peut également poser souci, quand on n’en connaît pas toutes les décimales. Pour bien des élèves, les seuls nombres connus sont les nombres entiers et les nombres décimaux (positifs…) (les « vrais nombres » disent-ils parfois…)
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Un élève de seconde nous a dit un jour, quand on lui a expliqué que les décimales de \(\pi\) étaient en nombre infini, sans « régularité », et qu’on ne les connaissait pas toutes : « Mais alors, \(\pi\) on ne le connaît pas ! ». Quel « professionnel » des mathématiques dirait qu’il ne connaît pas \(\pi\) ?

Mais y réfléchissant bien, connaît-on réellement le nombre \(\pi\) ?