Les travaux de Ngô Bao Châu

Ngô Bao Châu vient de recevoir la la médaille Fields « pour sa démonstration du lemme fondamental de la théorie des formes automorphes menée grâce à l’introduction de nouvelles méthodes algébrico-géométriques. »

Ngô Bao Châu a surmonté l’un des obstacles importants dans un formidable programme poursuivi depuis des dizaines d’années pour révéler des connexions cachées entre des domaines mathématiques à première vue très éloignés les uns des autres. Il a ainsi fourni des bases mathématiques solides à un ensemble de théories et développé des techniques qui rendront probablement accessible de nombreux nouveaux résultats.

L’histoire de l’accomplissement de Ngô a commencé en 1967, quand le mathématicien Robert Langlands eut la vision stupéfiante d’une sorte de trou de ver mathématique reliant des domaines qui semblaient à des années lumières. Sa vision était si ambitieuse et improbable que quand il s’en ouvrit au grand théoricien des nombres André Weil, il commença sa lettre par cette note timide : « J’apprécierais que vous acceptiez de lire [ma lettre] comme une pure spéculation ; dans le cas contraire, je suis sûr que vous avez une corbeille à portée de main. » Langlands énonça alors une série de conjectures éblouissantes qui ont depuis guidé les recherches dans tout un pan des mathématiques.

La grande majorité de ces conjectures ne sont toujours pas démontrées, et devraient occuper des générations de mathématiciens. Malgré cela, les avancées dans ce programme ont été un moteur puissant menant à de nouveaux résultats mathématiques, en particulier la démonstration du dernier théorème de Fermat par Andrew Wiles et celle de la conjecture de Sato-Tate par Richard Taylor. La réalisation complète du programme de Langlands permettrait d’unifier de nombreux domaines des mathématiques contemporaines, dont la théorie des nombres, la théorie des groupes, la théorie des représentations et la géométrie algébrique.

La vision de Langlands était une sorte de pont franchissant un fossé qui sépare les mathématiques depuis l’époque d’Euclide : la division entre continuum et multitude. Le continuum est la forme mathématique du beurre, une étendue de matière qui peut être divisée en morceaux aussi petits que voulu. Les droites et les courbes, les plans, l’espace dans lequel on vit et les espaces de dimensions encore plus grande sont des continuums et sont couramment étudiés avec les outils de la géométrie et de l’analyse. Les multitudes au contraire sont comme des billes, on peut les regrouper en paquets mais pas les découper sans qu’elles perdent leur essence. Les nombres entiers sont les exemples typiques de multitudes, ils sont étudiés avec les outils de la théorie des nombres. Langlands a prédit que certains nombres qui apparaissent en analyse —précisément, les valeurs propres de certains opérateurs agissant sur des espaces de « formes automorphes » — ces dernières pouvant être par exemple certaines formes différentielles — sont en fait un code qui une fois décrypté permettrait de classer des objets fondamentaux du monde arithmétique.

L’un des outils développé à partir du programme de Langlands est la « formule des traces d’Arthur-Selberg », une équation qui montre précisément comment certaines informations géométriques permettent de calculer des informations arithmétiques. Non seulement c’est intéressant en soi, mais en plus cette formule est une des étapes vers la démonstration du principe de fonctorialité de Langlands, qui est l’un des piliers du programme. Mais Langlands, en cherchant à appliquer la formule des traces, s’est trouvé confronté à de multiples sommes compliquées qui lui semblaient clairement égales sans qu’il sache comment le montrer. Ça ressemblait à un problème simple qui devrait pouvoir être résolu par de petites astuces combinatoires, il le qualifia donc de « lemme » —ce terme désigne un résultat mineur mais utile— et le donna à résoudre à son étudiant de thèse. Comme l’étudiant ne parvint pas à le démontrer, Langlands le donna à un second. Puis il travailla lui-même à le démontrer. Puis il consulta d’autres mathématiciens. Alors que tout le monde échouait à le prouver, la nécessité d’utiliser le résultat devenait de plus en plus évidente. Ainsi le problème gagna un titre un peu plus glorieux : celui de « lemme fondamental ».

Après trente ans de travail, seulement quelques cas particuliers en avaient été démontrés. L’absence de démonstration complète était devenue tellement gênante pour le développement de la théorie que de nombreux mathématiciens avaient commencé à supposer qu’il était vrai et à en développer les conséquences, créant un immense pan de théorie qui s’écroulerait si le résultat se révélait faux.

Ngô Bao Châu est celui qui est finalement venu à bout du problème. Il s’est d’abord rendu compte qu’on pouvait faire apparaître naturellement les identités compliquées du lemme fondamental à partir de certains objets mathématiques sophistiqués appelés fibrations de Hitchin. Son approche était entièrement nouvelle et inattendue : les fibrations de Hitchin sont purement géométriques et proches de la physique mathématique, presque la dernière chose que quiconque aurait pensé à utiliser pour résoudre ce problème de mathématiques pures.

Il était néanmoins clair qu’il avait trouvé une relation profonde. Son approche transformait l’agaçante complexité du lemme fondamental en un énoncé simple et naturel sur les fibrations de Hitchin. Même avant d’achever la démonstration complète, il avait obtenu quelque chose d’encore plus impressionnant : une réelle compréhension de la question.

De plus, en inscrivant le problème dans une image plus générale, Ngô s’est donné de nouveaux outils puissants pour l’attaquer. En 2004 il avait démontré avec son ancien directeur de thèse Gérard Laumon des cas particuliers importants et difficiles. En 2008 il a résolu le problème dans toute sa généralité grâce à ses nouvelles méthodes.

Ces idées sont tellement novatrices que les mathématiciens s’attendent à ce qu’elles permettent aussi de résoudre un grand nombre d’autres problèmes. Une autre pièce du programme de Langlands, sa « théorie de l’endoscopie », est en ligne de mire.

Ses méthodes pourraient même mener à une piste vers la démonstration du principe de fonctorialité dans son entier, ce qui serait presque l’achèvement de la version originale du programme. Langlands lui-même, toujours un travailleur acharné à 70 ans, a développé une approche du problème très spéculative mais séduisante. Il est encore loin d’être clair que ces idées puissent mener à une démonstration, mais si c’est le cas elles auront besoin de s’appuyer sur le genre d’idées géométriques introduites par Ngô.