Défi de la semaine
Un concours de mathématiques est composé de \(20\) questions. Huit points sont accordés pour chaque réponse correcte et cinq points sont perdus chaque mauvaise réponse. Si un problème reste non résolu, cela vaut zéro point. Si l’on a obtenu \(13\) points, combien de problèmes a-t-on résolus ?
Solution du 4e défi d'avril 2023
La réponse est : \(528\).
Entre \(1\) et \(500\), il y a \(\lfloor \sqrt{500}\rfloor=22\) carrés parfaits et \(\lfloor \sqrt[3]{500}\rfloor\) \(=7\) cubes parfaits (où \(\lfloor x\rfloor\) désigne la partie entière de \(x\)).
Cependant, certains de ces entiers sont à la fois des carrés et des cubes : il s’agit de \(1\) et de \(64=2^6=8^2=4^3\) (le suivant, \(3^6=729\), est plus grand que \(500\)).
Parmi les entiers entre \(1\) et \(500\), il y en a donc \(22+7-2=27\) qui sont des carrés ou des cubes et qui sont donc exclus de notre suite.
On doit donc encore chercher \(27\) entiers de la suite supérieurs à \(501\).
Entre \(501\) et \(527\), il n’y a pas de carrés parfaits à enlever mais il y a un cube parfait, \(8^3=512\).
On en déduit que le nombre cherché est \(528\).
Post-scriptum
Le calendrier est publié aux Presses Universitaires de Grenoble, sous la direction scientifique de Romain Joly.
Crédits images
©JROBALLO / Adobestock
ÉCRIT PAR
Romain Joly
Maître de conférences - Institut Fourier de Grenoble
16h02
Bonjour,
Un examen exhaustif de tous les cas possibles (merci Excel) permet de trouver que le nombre de réponses correctes est 6, ( et 7 mauvaises réponses).
8×6 – 5*7 = 13
18h09
On peut poser :
8x-5y=13
Avec x= nbre de bonnes réponses
y= nbre de mauvaises réponses
Et on sait que
x+y≤20 ;
x≤20 ;
y≤20
5y étant un nombre finissant pas 5 ou 0, il faut que 8x soit un nombre qui finisse par 8 ou 3 pour respecter 8x-5y=13.
Dans la table des 8 (jusque 20 puisque x≤20), on trouve 8×1, 8×6, 8×11, 8×16.
Seul 8×6 convient et dans ce cas y=7.
Donc 6 bonnes réponses