Mai 2023 — 3e défi

Défis et énigmes
Écrit par Romain Joly
Publié le 19 mai 2023

Défi de la semaine

Dans le triangle rectangle \(ABC\), \([AD]\) est la hauteur issue de \(A\), \(BD= 3\,\textrm{cm}\) et \(DC=12\,\textrm{cm}\). Que vaut l’aire du triangle ?

Solution du 2e défi de mai 2023

Enoncé

Réponse : \(5\)

Il faut commencer par remarquer que, lorsqu’on multiplie un nombre impair par \(5\), le résultat se termine par \(5\), puisque si \[n=2k+1,\] alors \[5n=5(2k+1)=10k+5.\]

Le nombre que l’on cherche à calculer est \[X=(7\times 9\times 11\times 13\times 17\times \cdots \times 2023)\times 15\] \[= (7\times 9\times 11\times 13\times 17\times \cdots \times 2023)\times 3\times 5.\]

Puisque le produit de nombres impairs est un nombre impair,

\(Y=(7\times 9\times 11\times 13\times 17\times \cdots \times 2023)\times 3\) est impair.

Donc \(X=Y\times 5\) se terminera par \(5\).

Post-scriptum

Le calendrier est publié aux Presses Universitaires de Grenoble, sous la direction scientifique de Romain Joly.

Crédits images

©JROBALLO / Adobestock

ÉCRIT PAR

Romain Joly

Maître de conférences - Institut Fourier de Grenoble

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Commentaires

  1. ROUX
    mai 19, 2023
    9h19

    D’abord, j’homothétise le triangle d’un facteur \(1/3\).
    Ensuite, \(AD\), je l’appelle \(x\).
    L’aire du triangle \(ABC\) de hauteur \(AB\) est égale à la somme des aires des triangles \(ADB\) et \(ADC\) de hauteurs \(x\) et \(x\).
    \(AB.AC=5.x\).
    Je passe tout ça au carré et \(AB\) et \(AC\) étant des hypoténuses, j’obtiens in fine :
    \(x^4-8.x^2+16=0\) dont l’unique solution réelle positive est \(x^2=4\) ou \(x=2\).
    L’aire du triangle homothétisé est donc égale à \(5.2/2=5\).

  2. claude
    mai 19, 2023
    12h06

    Soit S(ABC)=S(ABD)+S(ADC)
    AD=x ; AB=y ; AC=z
    S((ABC)=S=yz/2
    S((ABD)=S1=3x/2
    S(ADC)=S2=12x/2
    Appliquons Pythagore sur S1 et S2
    y=√(x²+3²) ; z=√(x²+12²)
    Remplaçons y et z par leur valeur dans S1 et S2,
    S=S1+S2
    => √(x²+3²)(x²+12²)=(3x/2)+(12x/2)
    Soit x⁴-72x²+1296=0
    x=6
    S=(15×6)/2=45

  3. Mihaela J
    mai 19, 2023
    13h32

    Notons \(x = AD\)
    Les triangles \(ADB\) et \(CDA\) sont semblables, alors \(\displaystyle\frac{AD}{BD} = \displaystyle\frac{CD}{AD}\).
    Ce qui revient à \(\displaystyle\frac{x}{3} = \displaystyle\frac{12}{x}\).
    ou encore \( x^2 = 36\). Donc \(x = 6\).

    L’aire de ABC est \(\displaystyle\frac{x \times 15}{2} = 45\).

  4. Didier Roche
    mai 19, 2023
    16h47

    Comparaison moyenne géométrique et moyenne arithmétique

    En conservant les notations ci-dessus AD^2 = BD*CD d’où AD est la moyenne géométrique de BD et CD.
    Le triangle rectangle ABC est inscrit dans le cercle de diamètre BD+CD .
    D’où la corde de longueur 2*AD <= diamètre BD+CD ou AD<= (BD+CD)/2.

  5. ROUX
    mai 19, 2023
    16h54

    Très élégant !!!