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Défi de la semaine
Dans le triangle rectangle \(ABC\), \([AD]\) est la hauteur issue de \(A\), \(BD= 3\,\textrm{cm}\) et \(DC=12\,\textrm{cm}\). Que vaut l’aire du triangle ?
Solution du 2e défi de mai 2023
Réponse : \(5\)
Il faut commencer par remarquer que, lorsqu’on multiplie un nombre impair par \(5\), le résultat se termine par \(5\), puisque si \[n=2k+1,\] alors \[5n=5(2k+1)=10k+5.\]
Le nombre que l’on cherche à calculer est \[X=(7\times 9\times 11\times 13\times 17\times \cdots \times 2023)\times 15\] \[= (7\times 9\times 11\times 13\times 17\times \cdots \times 2023)\times 3\times 5.\]
Puisque le produit de nombres impairs est un nombre impair,
\(Y=(7\times 9\times 11\times 13\times 17\times \cdots \times 2023)\times 3\) est impair.
Donc \(X=Y\times 5\) se terminera par \(5\).
Post-scriptum
Le calendrier est publié aux Presses Universitaires de Grenoble, sous la direction scientifique de Romain Joly.
Crédits images
©JROBALLO / Adobestock
9h19
D’abord, j’homothétise le triangle d’un facteur \(1/3\).
Ensuite, \(AD\), je l’appelle \(x\).
L’aire du triangle \(ABC\) de hauteur \(AB\) est égale à la somme des aires des triangles \(ADB\) et \(ADC\) de hauteurs \(x\) et \(x\).
\(AB.AC=5.x\).
Je passe tout ça au carré et \(AB\) et \(AC\) étant des hypoténuses, j’obtiens in fine :
\(x^4-8.x^2+16=0\) dont l’unique solution réelle positive est \(x^2=4\) ou \(x=2\).
L’aire du triangle homothétisé est donc égale à \(5.2/2=5\).
12h06
Soit S(ABC)=S(ABD)+S(ADC)
AD=x ; AB=y ; AC=z
S((ABC)=S=yz/2
S((ABD)=S1=3x/2
S(ADC)=S2=12x/2
Appliquons Pythagore sur S1 et S2
y=√(x²+3²) ; z=√(x²+12²)
Remplaçons y et z par leur valeur dans S1 et S2,
S=S1+S2
=> √(x²+3²)(x²+12²)=(3x/2)+(12x/2)
Soit x⁴-72x²+1296=0
x=6
S=(15×6)/2=45
13h32
Notons \(x = AD\)
Les triangles \(ADB\) et \(CDA\) sont semblables, alors \(\displaystyle\frac{AD}{BD} = \displaystyle\frac{CD}{AD}\).
Ce qui revient à \(\displaystyle\frac{x}{3} = \displaystyle\frac{12}{x}\).
ou encore \( x^2 = 36\). Donc \(x = 6\).
L’aire de ABC est \(\displaystyle\frac{x \times 15}{2} = 45\).
16h47
Comparaison moyenne géométrique et moyenne arithmétique
En conservant les notations ci-dessus AD^2 = BD*CD d’où AD est la moyenne géométrique de BD et CD.
Le triangle rectangle ABC est inscrit dans le cercle de diamètre BD+CD .
D’où la corde de longueur 2*AD <= diamètre BD+CD ou AD<= (BD+CD)/2.
16h54
Très élégant !!!