Défi de la semaine : problème du mois
Combien peut-on trouver de rectangles tels que la mesure de chaque côté est un entier et que l’aire vaut le double du périmètre ?
Solution du 4e défi d'avril 2024
La réponse est \(2\,049\,300.\)
En regroupant et en factorisant, on a
\[
\begin{eqnarray*}
2024^2-2023^2 & = & (2024-2023)(2024+2023)=2024+2023\\
2022^2-2021^2 & = & (2022-2021)(2022+2021)=2022+2021\\
& \vdots & \\
2^2-1^2 & = & (2-1)(2+1)=2+1.
\end{eqnarray*}
\]
La somme que l’on cherche à calculer est donc
\[1+2+\cdots + 2024 = \frac{1}{2}\times2024\times2025=2\,049\,300.\]
Post-scriptum
Le calendrier est publié aux Presses Universitaires de Grenoble, sous la direction scientifique de Romain Joly.
Crédits images
©JROBALLO / Adobestock
ÉCRIT PAR
Romain Joly
Maître de conférences - Institut Fourier de Grenoble
10h30
On a à résoudre en entiers strictement positifs \(ab = 4(a+b)\) donc \(4 \mid ab\). Deux cas peuvent se présenter : soit \(a\) ou \(b\) est divisible par \(4\), disons \(a\) soit l’un est divisible par \(2\) et pas par \(4\) disons \(a\) et l’autre est alors pair.
Cas 1 \(a=4a’\) l’équation devient \(a'(b-4)=b\). Posons \(k=b-4\) alors \(k \mid k+4\) donc \(k \mid 4\) et \(k = 1,2,4\).
Si \(k=1\), \(b=a’\) en reportant \(a=20 , b=5\) et \(100=4(20+5)\).
Si \(k=2\), \(b=2a’\) en reportant \(a=12 , b=6\) et \(72=4(12+6)\).
Si \(k=4\), \(b=4a’\) en reportant \(a=8 , b=8\) et \(64=4(8+8)\).
Cas 2 \(a=2a’ ,b=2b’\) l’équation devient \(a'(b’-2)=2b’\). Comme \(a’\) est impair, \(b’-2\) est pair et également \(b’\) , \(b\) est divisible par \(4\) et on revient au cas 1 en échangeant \(a\) et \(b\).
Il y a au total \(5\) solutions pour \((a,b)\) :\((20,5), (12,6), (8,8), (6,12), (5,20)\).
11h14
\(ab = 4(a+b)\)
Si \(a\) et \(b\) ne sont pas de même parité alors l’un est impair et l’autre, disons \(a\) est multiple de \(4\).
Si \(a\) et \(b\) sont de même parité alors \(a+b\) est pair, d’où \(8 | 4(a+b)\) et donc là aussi au moins l’un des nombres, disons \(a\) est multiple de \(4\).
On peut donc poser \(a=4c\), et l’équation se simplifie en \(cb = 4c + b\), d’où \(b = \frac{4c}{c-1}\). Comme \(c-1\) est premier avec \(c\) il doit diviser \(4\), ce qui nous donne \(3\) rectangles :
pour \(c-1 = 1\) on a \(c=2\), d’où \(a=8\) et \(b=8\)
pour \(c-1 = 2\) on a \(c=3\), d’où \(a=12\) et \(b=6\)
pour \(c-1 = 4\) on a \(c=5\), d’où \(a=20\) et \(b=5\)
14h12
On cherche n et p tels que np = 4(n+p). avec n largeur et p longueur
np – 4n – 4p = 0
n(p-4) – 4p + 16 = 16
n(p-4) – 4(p -4) = 16
(n-4)(p-4) = 16
16 se décomposant en 1×16, 2×8, 4×4 on trouve n=5 et p=20 ou n=6 et p=12 ou n=p=8
18h27
Très très élégant !