Défi de la semaine
Un grand carré est partagé en \(18\) carrés plus petits, de telle manière que \(17\) d’entre eux ont un côté de \(1\)cm. Quelle est l’aire du grand carré ?
Solution du 4e défi de mai 2024
Il est impossible que le premier martien ait dit « je suis un tuku ». En effet, s’il est un tuku, alors il doit mentir, et donc se dire taka ; et si c’est un taka, il doit dire la vérité. Donc le second martien ment. Le troisième martien dit donc la vérité : c’est un taka.
Post-scriptum
Le calendrier est publié aux Presses Universitaires de Grenoble, sous la direction scientifique de Romain Joly.
Crédits images
©JROBALLO / Adobestock
ÉCRIT PAR
Romain Joly
Maître de conférences - Institut Fourier de Grenoble
8h51
Soit a le côté du grand carré et b le côté du dix-huitième petit carré. Alors a2=17+b2, ce qui donne a2−b2=17, puis (a−b)(a+b)=17. Comme 17 est premier la seule factorisation qu’il admet est 17=1×17. En supposant que a et b sont entiers on obtient :
a−b=1
a+b=17
L’addition de ces équations donne 2a=18, soit a=9, et on en déduit ensuite b=a−1=8.
On peut effectivement paver un carré de côté 9 avec un carré de côté 8, bordé par exemple par une bande de 8 petits carrés de côté 1 à l’ouest, une autre bande de 8 petits carrés au nord, et le dix-septième petit carré dans le coin nord-ouest.
Ainsi l’aire du grand carré est a2=92=81 .
18h20
Cherchons le côté du grand carré et appelons-le g. Appelons c le côté du 18ème carré. La mesure des 17 petits carrés est de 17 * 1 = 17 cm². Alors nous avons :
g² = c² + 17 ; g² – c² = 17 ; (g + c)(g – c) = 17
Comme 17 est un nombre premier, la seule solution est 17 pour (g + c) et 1 pour (g – c). Par conséquent g = 9 et c = 8.
9² = 8² + 17
Ce qui est correct. L’aire du grand carré est ainsi de : 9² = 81 cm².