Défi de la semaine
Les entiers \(22\) , \(23\) et \(24\) ont la propriété que tous les exposants qui apparaissent dans leurs décompositions en produits de facteurs premiers distincts sont impairs, puisque \(22=2^1\times 11^1\), \(23=23^1\) et \(24=2^3\times 3^1\). Quelle est la longueur maximale d’une suite d’entiers consécutifs ayant cette propriété ?
Solution du 4e défi de février 2023
On note \(x\) le nombre de personnes présentes au goûter avant l’arrivée de Takéo, et on note \(S\) la somme des âges de ces personnes. On a alors \(x=\frac{S}{x}\), donc \(x^2=S\).
Lorsque Takéo arrive au goûter, l’âge moyen continue de coïncider avec le nombre de personnes, c’est-à-dire que l’on a \(x+1=\frac{S+29}{x+1}\), d’où \( (x+1)^2=S+29\).
Comme \(S=x^2\), on obtient
$$
\begin{eqnarray*}
x^2+29 &=& (x+1)^2\\
x^2+29 &=& x^2 +2x+1\\
28 &=& 2x\\
14 &=& x.
\end{eqnarray*}
$$
Il y avait donc \(14\) personnes au goûter.
Post-scriptum
Le calendrier est publié aux Presses Universitaires de Grenoble, sous la direction scientifique de Romain Joly.
Crédits images
©JROBALLO / Adobestock
ÉCRIT PAR
Romain Joly
Maître de conférences - Institut Fourier de Grenoble
8h23
Voici une suite de \(7\) nombres consécutifs avec la propriété demandée :
\(29=29^1\)
\(30=2^1 \times 3^1 \times 5^1\)
\(31=31^1\)
\(32=2^5\)
\(33 = 3^1 \times11^1\)
\(34 = 2^1 \times 17^1\)
\(35 = 5^1 \times 7^1\)
On ne peut pas faire mieux que \(7\) car une telle suite se trouve forcément entre deux nombres \(2^2(2n+1)\) et \(2^2(2(n+1)+1)=2^2(2n+1)+8\), dans lesquels l’exposant de \(2\) est \(2\) donc pair.
19h02
Dans une suite d’entiers ayant cette propriété et ayant plus de \(4\) éléments, il y en a un divisible par 4 (au pire le \(4^{ième}\). Il s’écrit \(n=4*2^{1+2\alpha}q\) avec \(\alpha\ge0\) et \(q\) impair.
Or \(n+4=4(2^{1+2\alpha}q+1)\) et \(2^{1+2\alpha}q+1\) est impair donc ne fait pas partie de la suite. Donc la suite contient au plus \(\{n-3, n-2, n-1, n, n+1, n+2, n+3\}\) soit \(7\) éléments. Al_louarn nous fournit une telle suite de 7 éléments.