Défi de la semaine
Un certain polygone régulier possède trois fois plus de diagonales que de côtés. Combien a-t-il alors de côtés ?
Solution du 1er défi de mars 2023
La réponse est : 7.
Observons que l’on pourrait ajouter \(21=3^1\times 7^1\), mais ni \(20\) ni \(25\) ne conviennent.
En continuant avec les entiers qui suivent, on trouve la suite
\(29=29^1\), \(30=2^1\times 3^1\times 5^1\), \(31=31^1\), \(32=2^5\), \(33=3^1\times 11^1\), \(34=2^1\times 17^1\) et \(35=5^1\times 7^1\), ce qui donne une suite de sept nombres consécutifs. Cette suite ne peut être prolongée car ni \(28=2^2\times 7\) ni \(36=2^2\times3^2\) ne conviennent.
Montrons que ce phénomène d’obstruction est général et que la longueur maximale d’une telle suite est \(7\). Parmi huit entiers consécutifs, l’un est toujours de la forme \(8n+4\) ou bien \(8n-4\). Or un tel nombre est divisible par \(4=2^2\)et non par \(8=2^3\). On en déduit qu’il y a au maximum sept nombres consécutifs vérifiant la propriété demandée.
Post-scriptum
Le calendrier est publié aux Presses Universitaires de Grenoble, sous la direction scientifique de Romain Joly.
Crédits images
©JROBALLO / Adobestock
ÉCRIT PAR
Romain Joly
Maître de conférences - Institut Fourier de Grenoble
8h14
Si le polygone a \(n\) côtés alors il a autant de sommets et donc on peut former \({ n \choose 2} = \frac{n(n-1)}{2}\) couples de sommets. Ces couples sont les extrêmités de segments, dont \(n\) sont les côtés du polygone, et les autres sont les diagonales. Ainsi :
\(\frac{n(n-1)}{2} – n = 3n\)
\(\frac{n(n-1)}{2} = 4n\)
\(n-1 = 8\)
\(n = 9\)
8h18
Soit n le nombre de côté alors n=9
En calculant le nombre de diagonales des premiers polygones, on obtient :
N=3 —> d(nbre de diagonales)=0
N=4 —>d=2
N=5 —>d=5
N=6 —>d=9
N=7 —>d=14
On devine une suite de la forme :
d(n)=d(n-1)+[d(n-1)-d(n-2)+1]
Soit d(n)=2d(n-1)-d(n-2)+1
On voit rapidement que pour n=9
d(9)=2d(8)-d(7)+1=(2×20)-14+1=27
13h47
On obtient également le resultat d’une manière moins intuitive, En développant la suite
d(n)=2d(n-1)-d(n-2)+1
On obtient dn=d(n-1)+ n-2
Suite qu’on peut encore améliorer pour obtenir dn uniquement en fonction de n :
dn=( n-2)+(n-3)+(n-4)+…+4+3+2
Soit en réduisant :
dn=n(n-3)/2
Et pour dn=3n
3n=n(n-3)/2 —> n=9
10h02
Un polygone régulier à n côtés possède n * (n – 3) / 2 diagonales.
Il suffit donc de résoudre l’équation :
n * (n – 3) / 2 = 3 * n
soit : n^2 – 3 * n = 6 * n
en simplifiant par n on obtient n -3 = 6
donc n = 9