Défi de la semaine
Placer les nombres de 1 à 9 dans la grille de sorte que le produit des nombres de chaque ligne et de chaque colonne soit égal au résultat affiché en fin de ligne ou colonne.
Mars, 3e défi
Solution du 2e défi de mars 2023
La réponse est : 9 côtés.
Si le polygone a \(n\) côtés, il a donc
\({ n \choose 2} – n = \frac{n!}{2!(n-2)}-n = \frac{n(n-1)}{2}-n=\frac{n(n-3)}{2} \) diagonales.
En effet, il y a \( n \choose 2 \) façons de choisir deux sommets à relier parmi \(n\), mais on obtient ainsi non seulement toutes les diagonales mais aussi les \(n\) côtés (obtenus lorsque les sommets sont adjacents).
Il s’agit donc de résoudre l’équation \(\frac{n(n-3)}{2}=3n\). Elle est équivalente à \(n^2-3n=6n\) ou encore à \(n(n-9)=0\).
Cette équation possède une seule solution strictement positive, à savoir \(n=9\). Le polygone a donc neuf côtés.
Post-scriptum
Le calendrier est publié aux Presses Universitaires de Grenoble, sous la direction scientifique de Romain Joly.
Crédits images
©JROBALLO / Adobestock
ÉCRIT PAR
Romain Joly
Maître de conférences - Institut Fourier de Grenoble
8h17
1ère ligne : 2 – 5 – 7
2ème ligne : 8 – 1 – 6
3ème ligne : 4 – 9 – 3
11h33
\(70\cap45=5\) pour la divisibilité par \(5\) de ces deux nombres.
\(70\cap64=2\) pour la divisibilité par \(2\) de ces deux nombres.
\(70\cap126=7\) pour le \(7\) restant de \(70\).
Et ainsi de suite.
0h57
La décomposition de chaque produit en facteurs premiers fut une aide indéniable pour remplir cette grille. Et ceci rend le défi très intéressant. Je ne sais pas cependant s’il existe un moyen de trouver la bonne disposition des nombres de 1 à 9 avec une méthode qui ne laisserait aucune place aux hypothèses du hasard.
18h18
Oui, en effet, on peut.
Seuls 70 et 45 ont 5 comme diviseur commun et seuls 70 et 126 ont 7 en commun.
J’appellerai chaque ligne et chaque colonne par le produit des nombres y figurant et les points indiqueront un nombre manquant.
Posons donc tout d’abord :
. 5 7
. . .
. . .
Sur la première ligne 70, on ajoute 2, puisque 2 * 5 * 7 = 70.
2 5 7
. . .
. . .
64 c’est 2^6, 4 (2^2) et 8 (2^3) figurent donc dans cette colonne, en compagnie du 2. 8 ne peut être sur la ligne de 108, car il y a tout au plus 2^2 dans cette ligne, mais 48 peut contenir 2^3 :
2 5 7
8 . .
4 . .
Restent à poser : 1, 3, 6 et 9.
Il manque 6 à la ligne 48, soit 1 et 6, et 9 à la colonne 45, soit 1 et 9, nous pouvons donc les poser d’une façon et unique ainsi que 3 pour terminer :
2 5 7
8 1 6
4 9 3