Défi de la semaine
Un triangle \(ABC\) est rectangle en \(B\) et vérifie \(AB=3\,\mathrm{cm}\) et \(AC=5\,\mathrm{cm}\). La bissectrice issue de \(A\) recoupe le segment \([BC]\) en un point \(D\). Que vaut \(\frac{BD}{DC}\) ?
Solution du 3e défi de mars 2023
Considérons la première colonne. Comme \(64=2^6\), les nombres dans la première colonne doivent être \(2\), \(4\) et \(8\). Le même raisonnement montre que la deuxième colonne, dont le produit vaut $45$, contient les nombres \(1\), \(5\) et \(9\). La troisième colonne contient donc les nombres \(3\), \(6\) et \(7\).
Analysons maintenant les lignes. La première ligne, dont le produit vaut \(70=2\times 5 \times 7\), doit contenir les nombres \(2\), \(5\) et \(7\). Pour la deuxième, comme \(48=2^4\times 3\), elle doit contenir \(1\), \(6\) et \(8\). Finalement, le carré complété est le suivant~:
Solution
Post-scriptum
Le calendrier est publié aux Presses Universitaires de Grenoble, sous la direction scientifique de Romain Joly.
Crédits images
©JROBALLO / Adobestock
ÉCRIT PAR
Romain Joly
Maître de conférences - Institut Fourier de Grenoble
10h03
On projette \(D\) sur la droite \( (AC) \) en un point \(H \). Comme \((AD)\) est la bissectrice issue de A on a \(BD = DH\). Les triangles \(ABC\) et \(DHC\) sont semblables (vieille notion) car il ont deux angles égaux :
\( \frac{DH}{DC}=\frac{AB}{AC} \) et donc \( \frac{BD}{DC}=\frac{3}{5}\).
11h14
On note \(2x\) la mesure de l’angle \(BAC\).
En exprimant les aires des triangles \(ABD\) et \(ADC\) de deux manières on obtient :
\[ \frac{1}{2} BD \times AB = \frac{1}{2} AB \times AD \times \cos{x} \]
\[ \frac{1}{2} CD \times AB = \frac{1}{2} AD \times AC \times \cos{x} \]
On fait le rapport des égalités et on obtient :
\[\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC}\]
Le rapport recherché vaut \( \frac{3}{5}\).