Défi de la semaine
Comment choisir deux nombres de l’ensemble \(\{1,2,3,\ldots, 17\}\) de sorte que leur produit soit égal à la somme des \(15\) nombres restants~?
Solution du 4e défi de mars 2023
La réponse est \(\frac {3} {5}\).
Traçons la perpendiculaire à \((AC)\) passant par \(D\). Elle recoupe le segment \([AC]\) en un point \(E\).
Solution
Comme \((AD)\) est la bissectrice de \(\widehat{BAC}\), on a \(BD=DE\). De plus, les triangles \(ABC\) et \(DEC\) ont les mêmes angles et sont donc semblables. Par conséquent,
$$ \frac{BD}{DC} = \frac{DE}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac {3} {5}$$
Post-scriptum
Le calendrier est publié aux Presses Universitaires de Grenoble, sous la direction scientifique de Romain Joly.
Crédits images
©JROBALLO / Adobestock
ÉCRIT PAR
Romain Joly
Maître de conférences - Institut Fourier de Grenoble
8h33
Soient a et b les nombres recherchés. Alors :
ab+a+b=1+…+17= \(\frac {17×18}{2}\)=153
Ajoutons 1 puis factorisons :
ab+a+b+1=154
(a+1)(b+1)=2×7×11
L’un des facteurs du membre gauche, disons b+1, est le produit de 2 nombres parmi 2,7,11, mais comme b≤17, soit b+1≤18, la seule possibilité est b+1=2×7=14, d’où :
b=14−1=13
a=11−1=10.
9h01
1+2+…+17−a−b=ab
153=ab+a+b
153=a.(b+1)+b
153=a.(b+1)+(b+1)−1
153=(a+1).(b+1)−1
154=(a+1).(b+1).
Et après, la rédaction est complète -)