Défi de la semaine
Les mesures des côtés d’un triangle rectangle sont 60 cm, 80 cm et 100 cm. Déterminer la mesure du segment joignant le sommet de l’angle droit à l’hypoténuse et qui divise le triangle en deux triangles de même périmètre
Solution du 4e défi de février 2024
Réponse : 14
Notons \(n-1\), \(n\) et \(n+1\) les trois entiers positifs conséecutifs. Par hypothèse, on a :
$$
\begin{eqnarray*}
(n-1)+ n + (n+1) &=& (n-1)\times n\times (n+1)\\
3n&=&n\times (n^2-1)\\
3 &=&n^2-1,
\end{eqnarray*}
$$
ce qui donne \(n^2=4\). Comme \(n\) est positif, on a \(n=2\). Par conséquent, la somme des carrés des trois nombres est \(1^2+2^2+3^2=14\).
Post-scriptum
Le calendrier est publié aux Presses Universitaires de Grenoble, sous la direction scientifique de Romain Joly.
Crédits images
©JROBALLO / Adobestock
ÉCRIT PAR
Romain Joly
Maître de conférences - Institut Fourier de Grenoble
8h28
La moitié de l’aire du triangle rectangle est \(\frac{60 \times 80}{4} = 30 \times 40\). Ce triangle est partagé par le segment de longueur inconnue \(x\) en deux triangles, respectivement de bases \(60\) et \(80\), de hauteurs \(h_1\) et \(h_2\), et donc d’aires \(\frac{60 \times h_1}{2} = 30 h_1\) et \(\frac{80 \times h_2}{2} = 40 h_2\). Et ces aires sont égales à la moitié de celle du triangle rectangle, donc \(h_1 = 40\) et \(h_2 = 30\). Le segment de longueur \(x\) est aussi la diagonale d’un rectangle de côtés \(h_1\) et \(h_2\), donc \(x^2 = h_1^2 + h_2^2\), soit \(x=\sqrt{40^2+30^2}=50\).
8h39
Mais on veut le même périmètre, pas la même aire…
9h34
Bonjour, pour rester dans le hors-sujet, le fait que le milieu de l’hypoténuse (et centre du cercle circonscrit) permet de partager le triangle en deux triangles de même aire est assez évident sans calcul : les deux triangles ont des bases de même longueur (la moitié de l’hypoténuse) et une hauteur commune !
8h50
1er mars 2024 à 08h50min
par Hébu — gerard.hebuterne@gmail.com [Tous les messages de cet email]
Réponse à l’article Mars 1er défi [voir les messages]
Le segment (appelons le AD) issu du sommet de l’angle droit A est commun aux deux triangles : l’égalité des périmètres revient donc à 60+x=(100-x)+80, si je note ABD et ACD mes deux demi triangles, avec AB=60, AC=80, et x la distance BD
Soit x=60
9h06
En égalant les 2 triangles, puis en appliquant Thalès et 2 fois Pythagore, on trouve :
X=√(24²+(80-32)²)=53,66
12h26
Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(B\).
La distance \(x\) est entre \(B\) et un point \(I\) de \(AC\).
On a \(AJ+80=(100-AJ)+60\).
Alors \(AJ=40\).
On mène une perpendiculaire à \((AB)\) qui passe par \(I\) et la coupe en \(K\).
On mène une perpendiculaire à \((AC)\) qui passe par \(I\) et la coupe en \(L\).
Puisque \((JK)//(CB)\), par une première thalesserie, on a : \(JK/40=60/100\) ou \(JK=24\).
Puisque \((JL)//(AB)\), par une deuxième thalesserie, on a : \(JL/60=80/100\) ou \(JL=48\).
Alors, par une pythagorerie, \(x^2=24^2+48^2\) ou \(x^2=5.24^2\) ou \(x=24\).\(\sqrt{5}\)
12h30
Deux erreurs : le \(J\) se transforme en \(I\) et inversement et une erreur : on mène une perpendiculaire à \((BC)\) qui passe par \(J\) et la coupe en \(L\).
12h32
Donc on a \(I=J\)…