Défi de la semaine
Un avion met sept heures de plus qu’un autre pour aller de \(A\) à \(B\). Les vitesses de ces avions sont \(660\) km/h et \(275\) km/h. Quelle est la distance entre \(A\) et \(B\) ?
Solution du 4e défi de mars 2024
Il n’existe pas d’entiers \(a\) et \(b\) permettant d’obtenir une somme égale à \(98\).
On observe que :
\[1+2+\cdots +13=\frac{1}{2}\times14\times 13=7\times 13 = 91,\]
\[4+5+\cdots +14=99,\]
\[5+6+\cdots +14=95\]
\[\text{ et }8+9+\cdots +15=92.\]
Reste à prouver que \(98\) n’est pas une somme possible.
Supposons qu’il existe des entiers \(a\) et \(b\) avec \(1\leq a\leq 10\) et \(11\leq b\leq 20\), tels que \(98=a+(a+1)+\cdots + b\).
On a \(b=a+k\) pour un certain entier \(k\leq 19\).
Ainsi,
\[
\begin{eqnarray*}
98 & = & a+ (a+1)+\cdots + (a+k)\\
& = & (k+1)a + (1+2+\cdots +k)\\
& = & (k+1)a + \frac{1}{2}k(k+1)\\
& = & \frac{1}{2}(k+1)(2a+k).
\end{eqnarray*}
\]
On obtient donc \(196=(k+1)(2a+k)\). Puisque \(196=2^2\times 7^2\) et \(2\leq k+1\leq 20\),
les valeurs possibles pour \(k+1\) sont \(2\), \(4\), \(7\) ou \(14\). Si \(k+1=2\), alors
\(a=\frac{97}{2}\) n’est pas un nombre entier. Si \(k+1=4\), alors \(a=23>10\), ce qui contredit l’énoncé. De même, si \(k+1=7\), alors \(a=11>10\). Si \(k+1=14\), alors \(a=\frac{1}{2}\) n’est pas entier.
Finalement, il n’existe pas d’entiers \(a\) et \(b\) permettant d’obtenir une somme égale à \(98\).
Post-scriptum
Le calendrier est publié aux Presses Universitaires de Grenoble, sous la direction scientifique de Romain Joly.
Crédits images
©JROBALLO / Adobestock
ÉCRIT PAR
Romain Joly
Maître de conférences - Institut Fourier de Grenoble
8h56
Supposons que les avions partent en même temps de \(A\) en direction de \(B\) mais ne s’arrêtent pas en \(B\). Alors la distance entre les avions est proportionnelle au temps de vol. Au bout d’une heure elle est de \(660-275=385\) km, et quand l’avion lent arrive en \(B\), l’autre a parcouru \(7 \times 660 = 4620\) km de plus que lui. Donc le temps de vol de l’avion lent entre \(A\) et \(B\) est de \(\frac{4620}{385} = 12\) heures, pendant lesquelles il a parcouru \(12 \times 275 = 3300\) km.
15h11
Soit \(t\) le temps (en h) mis par l’avion le plus rapide pour parcourir la distance \(AB\).
La vitesse et le temps des deux avions permet d’exprimer la distance \(AB\) (en km) de deux façons en fonction de \(t\). On a \(AB=\,660\,t\,\) et \(AB=\,275\left(t+7\right)\,\).
Or, \(\,660\,t=275\left(t+7\right)\,\Leftrightarrow\,12t=5(t+7) \,\Leftrightarrow\, 12t=5t+35 \,\Leftrightarrow\, 7t=35 \,\Leftrightarrow\, t=5\,\).
On a donc \(AB=660\times5=3300\,\) km.