Mathématiques vivantes

Lettre de Serre

Il paraît que vous faites des choses rupinantes avec les courbes elliptiques sur les \(p-\)adiques (j non entier), m’a raconté Lang ; vous savez faire marcher ce que nos pères appelaient les « fonctions loxodromiques » sur les \(p-\)adiques. C’est bien sympathique, et j’aimerais beaucoup avoir des détails, si ça ne vous ennuie pas d’écrire.

Réponse de Tate :

I am happy to hear that you found the « fonctions loxodromiques » « bien sympathiques » because I like them, too — so much so that I am writing it up, believe it or not. Of course that goes very slowly, what with my writing neurosis, our new house, new child, etc. but still it goes.

Finally, and most important, this last theorem and probably many other things that are hard to prove at present, would become obvious if one really had a theory of analytic \(+\) meromorphic functions in complete non-archimedean fields. Given such a field \(k\), and given such a \(t\) with \(0<|t|<1\), then it is clear from the above results that the « meromorphic » functions on the « manifold » \(k^*/\langle t\rangle\) are just the rational functions of \(x(w)\) and \(y(w)\). But will you please define « meromorphic » and « manifold ». How does one get around the total disconnectedness to get some kind of global theory? One really must try to make sense out of Krasner’s stuff. I have not yet had the courage, however. But everything points to the existence of \(p\)-adic analytic continuation.

I enclose five pages, in « canonical style » which constitute the first installment of the « details » concerning rigid \(p\)-adic analytic spaces (with nilpotent elements, of course) which you asked for… It will be clear without saying that I have been helped enormously by Grothendieck , and by S 7 of Ch 0 of the Elements. Actually, what I send is just the very beginning, but Theorems 4.4 and 4.5 are certainly of interest.

Let \(K\) be a number field  let \(E\) be an elliptic curve over \(K\), and apply (b\(_1\)) to \(X_*=E\times E\) over \(K\). Show that (b\(_1\)) is true (by Deuring) in case \(E\) has complex multiplication. Show that if \(E\) has non complex multiplication, then Conjecture
(b\(_1\)) implies something about the distribution of the angle \(\theta(y)\) of the \(\alpha_y\) such that
\(\zeta_{Ey}(s)=\frac{\left(1-\alpha_y Ny^{-s}\right)\left(1-\overline{\alpha_y} Ny^{-s}\right)}{\left(1-Ny^{-s}\right)\left(1- Ny^{1-s}\right)}\), namely that if you assume a distribution function
\(f(\theta)=\sum_{\nu=0}^{\infty}a_{\nu}\cos\nu\theta\) for \(0\leq\theta\leq\pi\), then you should get \(\int_0^{\pi}(1+2\cos2\theta)f(\theta)\mathrm d\theta=0\), i.e. \(a_2=-a_0\). Thus the simplest possible function \(f(\theta)\) which should occur is \(f(\theta)=a-a\cos2\theta = 2 a \sin^2\theta\). Mumford tells me that Sato has found \(f(\theta)=c\sin^2\theta\) experimentally by machine on one curve with thousands of\(p\) — many more \(p\) than your computation. Did you ever have your distribution analyzed, and do they all look like \(\sin^2\theta\) \(????\)

Parlons plutôt de maths– les chances de s’y engueuler y sont nettement plus faibles ²C’est une allusion aux fâcheries consécutives au financement par l’OTAN du congrès d’Anvers sur les formes modulaires.; j’ai envie de te raconter une conjecture sur les extensions galoisiennes de \(\mathbb Q\) à groupe de Galois un sous-groupe de \(\mathrm GL_2(\mathbb F_p)\) :

Je vais être prudent, et considérer uniquement des représentations
\[\rho:\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb Q}/{\mathbb Q})\to{\mathrm GL}_2(\mathbb F_q),\qquad q=p^f,\]
non ramifiées en dehors de \(p\) et vérifiant la condition suivante :
\[\det\rho:\mathrm{Gal}\to\mathbb F_q^* \ est\ =\chi^{k-1} \quad (k\ pair),\]
où \(\chi:\mathrm{Gal}\to\mathbb F_q^*\) est le caractère fondamental modulo \(p\) (donnant l’action sur \(\mu_p\)).

Si \(\ell\neq p\), la trace et le déterminant de \(\rho(\mathrm{Frob}_{\ell})\) ont un sens évident ; note-les \(a_{\ell}\) et \(\ell^{k-1}\), et forme la série de Dirichlet (à coefficients dans \(\mathbb F_q\))
\(\prod_{\ell\neq p}\left(1-a_{\ell}\ell^{-s}+\ell^{k-1-2s}\right)^{-1}\), à la \Hecke ; note-la \(\sum a_n n^{-s}\), et forme la série formelle
\[f=\sum_{n=1}^{+\infty}a_nq^n,\]
où cette fois \(q\) désigne une indéterminée… mille excuses pour avoir appelé \(q\) le nombre d’élements du corps fini, mais j’ai la flemme de recommencer pour si peu !

Conjecture. — La série \(f\) est une forme modulaire (modulo \(p\)) sur \({\mathrm SL}_2({\mathbb Z})\) de poids congru à \(k\) mod \((p-1)\).

Réponse de Tate, le 11/06/73:

Your conjecture (or question if you want to be chicken) about modular representations of degree \(2\) of \(\mathrm{Gal}(\overline {\mathbb Q }/ {\mathbb Q})\) and modular forms is beautiful!

suivie, le 02/07/73, de:

Please give me a little more time (i.e. beyond 10 July) on the elliptic curve report. I have started on it, but have been distracted by various things, in particular, your conjectures on \(\rho : \mathrm{Gal}(\overline{{\mathbb Q}}/{\mathbb Q}) \to {\mathrm GL}_{2}(\mathbb F_{\ell^{a}})\). I think I can prove the conjecture for \(\ell = 2\), by brilliantly observing that \(2^{\frac{5}{2}} < \pi e^{2}/4\) (see enclosed sheets, which I offer as payment for the extended deadline).

Deligne est quelque peu sceptique (le salaud!) sur la conjecture disant que toute représentation non ramifiée en dehors de \(\ell\), et à déterminant impair, provient d’une forme modulaire modulo \(\ell\) sur \({\mathrm SL}_2({\mathbb Z})\). Son scepticisme s’appuie sur deux arguments :

a. Une telle représentation — si elle provient d’une forme modulaire — est relevable en une représentation \(\ell\)-adique (du moins après extension finie de \({\mathbb Q}_\ell\)). Or il est vraissemblable qu’il y a des représentations \({\rm mod}\,\ell\) qui refusent de se laisser relever \(\ell\)-adiquement — surtout si l’on impose la ramification (et probablement même sans l’imposer). Essaie de faire des exemples.

b. Même si la représentation provient d’une forme modulaire (sur un \(\Gamma_0(N)\), disons), il ne voit pas pourquoi \(N\) pourrait être pris égal à 1. Dit autrement : prends \((N,\ell)=1\), et une représentation attachée à une forme modulaire sur \(\Gamma_0(N)\). Suppose la représentation correspondante non ramifiée en un \(p\) qui divise \(N\). Il devrait être vrai (si mes conjectures optimistes étaient vraies) que la forme provient (au \(p\)-facteur près) d’une forme sur \(\Gamma_0(N/p)\). Cela lui parait trop beau.