Défi de la semaine
Si le carré fait \(1\,\textrm{m}\) de côté, quelle est l’aire de la région coloriée ?
Post-scriptum
Le calendrier est publié aux Presses Universitaires de Grenoble, sous la direction scientifique de Romain Joly.
Crédits images
©JROBALLO / Adobestock
ÉCRIT PAR
Romain Joly
Maître de conférences - Institut Fourier de Grenoble
8h43
L’aire de la lunule recherchée est la somme d’un demi disque de diamètre \(\sqrt{2}\) et la moitié d’un carré de côté 1 moins la surface d’un quart de disque de côté \(1\). Donc son aire est :
\(\frac{1}{2}\times\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2\pi+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\times1^2\pi\)
8h46
Soit une aire égale à \(\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}-\frac{\pi}{4}=\frac{1}{2}\)
8h49
Le diamètre du grand disque est la diagonale du carré donc de longueur \(\sqrt{2}\). L’aire du grand disque est donc \(\pi(\frac{\sqrt{2}}{2})^2=\frac{\pi}{2}\). La moitié de cette surface est verte sauf une zone qui est la différence entre la partie blanche du carré et la moitié du carré.
La partie blanche du carré est un quart de disque de rayon \(1\) donc son aire est \(\frac{\pi}{4}\), et le carré a une aire totale de \(1\).
L’aire totale de la région verte est donc \(\frac{\pi}{4}-(\frac{\pi}{4} – \frac{1}{2})=\frac{1}{2}\).