Défi de la semaine
Une voiture, un camion, un bus et une moto roulent à vitesse constante. La voiture dépasse le camion à 10h, puis dépasse le bus à midi et enfin la moto à 14h. À 16h, le bus dépasse la moto et le camion rattrape le bus à 18h. Si la voiture et le bus roulent respectivement à 120km/h et 80km/h, quelles sont les vitesses du camion et de la moto ?
Solution du 1er défi de novembre 2023
\(\displaystyle\frac\pi 4 – \frac 12 +1-\frac{\pi}{4}=\frac{1}{2}\,\textrm{m}^2.\)
On remarque que le rayon du cercle est la moitié de la diagonale du carré inscrit. D’après le théorème de Pythagore, la diagonale du carré mesure \(\sqrt 2\,\textrm{m}\), ainsi le cercle a un rayon de \(\frac{\sqrt 2}{2}\,\textrm{m}\).
image 1
L’aire du disque correspondant est donc \(\pi\left(\frac{\sqrt 2}{2}\right)^2=\frac{\pi}{2}\,\textrm{m}^2\). L’aire du carré valant \(1\,\textrm{m}^2\), on en déduit que l’aire des deux régions coloriées extérieures au carré est \(\frac{\frac{\pi}{2}-1}{2}= \frac\pi 4 – \frac 12\,\textrm{m}^2\).
Il nous reste à calculer l’aire de la région coloriée intérieure au carré. On remarque que cette aire est égale à l’aire du carré moins le quart de l’aire du disque délimité par les pointillés, c’est-à-dire \(1-\frac{\pi}{4}\,\textrm{m}^2\).
image 2
Donc l’aire de la région coloriée est
\(\displaystyle\frac\pi 4 – \frac 12 +1-\frac{\pi}{4}=\frac{1}{2}\,\textrm{m}^2.\)
Post-scriptum
Le calendrier est publié aux Presses Universitaires de Grenoble, sous la direction scientifique de Romain Joly.
Crédits images
©JROBALLO / Adobestock
ÉCRIT PAR
Romain Joly
Maître de conférences - Institut Fourier de Grenoble
9h18
Dans le référentiel du bus, la voiture roule à \(120-80=40\) km/h, donc elle parcourt \(80\)km entre ses rencontres avec le camion à \(10\)h et le bus à \(12\)h. Le camion met \(18-10=8\)h à parcourir ces \(80\)km par rapport au bus donc sa vitesse relative est \(80/8=10\)km/h et sa vitesse par rapport au sol est \(80+10=90\)km/h.
La rencontre entre la voiture et la moto (\(14\)h) a lieu exactement au milieu de l’intervalle séparant leurs rencontres respectives avec le bus (\(12\)h et \(16\)h), donc la vitesse de la moto (qui recule par rapport au bus) est l’opposée de celle de la voiture dans le référentiel du bus, soit \(-40\)km/h. Sa vitesse par rapport au sol est donc \(80-40=40\)km/h.
15h48
Considérons trois véhicules \(A\), \(B\) et \(C\) roulant chacun à une vitesse constante (resp. \(v_A\), \(v_B\) et \(v_C\) en km/h) et amenés à se doubler. Notons \(M_1\) l’instant où \(A\) double \(C\), \(M_2\) l’instant où \(A\) double \(B\) et \(M_3\) l’instant où \(C\) rattrape \(B\).
Alors la distance parcourue par \(C\) entre \(M_1\) et \(M_3\) est égale à la somme des distances parcourues par \(A\) entre \(M_1\) et \(M_2\) et par \(B\) entre \(M_2\) et \(M_3\).
On a donc : \((t_1+t_2)\times v_C =t_1\times v_A+t_2 \times v_B\:\:\:\) soit \(\:\:\:v_C = \frac{t_1\times v_A+t_2 \times v_B}{t_1+t_2}\)
\(\phantom{espace}\)
Si \(A\) interprète la voiture, \(B\) le bus et \(C\) le camion, alors la vitesse du camion devient :
\(\phantom{espace}\)
\(v_C=\frac{2\times120+6\times80}{8}=\frac{240+480}{8}=\frac{720}{8}=90\) km/h
\(\phantom{espace}\)
Si \(A\) interprète la voiture, \(B\) la moto et \(C\) le bus, on obtient :
\(\phantom{espace}\)
\(4\times 80=2\times 120+2\times v_B\:\:\:\) d’où \(\:\:\:v_B=\frac{4\times 80-2\times 120}{2}=\frac{320-240}{2}=\frac{80}{2}=40\) km/h
Le camion roule donc à \(90\) km/h et la moto à \(40\) km/h
15h51
Note : \(t_1\) est la durée entre les instants \(M_1\) et \(M_2\) et \(t_2\) la durée entre les instants \(M_2\) et \(M_3\)
16h27
Le camion roule de 10h à 18h, soit 8h. Pendant ce temps il parcourt les 240km de la voiture (2h x 120km/h) + les 480km du bus (6h x 80km/h) soit au total 720km.
V. du camion : 720/8= 90km/h
La moto roule de 14h à 16h soit 2h. Pendant ce temps elle parcourt les 320km du bus (4h x 80km/h) – Les 240km de la voiture ( 2h x 120km/h) soit au total 80km
V. de la moto : 80/2= 40km/h