Défi de la semaine
Sur la figure ci-dessous formée par des bâtonnets, on peut distinguer trois carrés : un grand et deux petits.
Déplacer quatre bâtonnets de sorte que la figure contienne alors quatre carrés de même taille.
Solution du premier défi d'octobre 2024
Montrons d’abord que les âges de Marie et Bruno sont des nombres à deux chiffres.
Si jamais l’un des deux avait \(9\) ans ou moins, l’autre devrait alors avoir au moins \(100\) ans. Mais alors, dans \(31\) ans, leurs âges mis bout à bout formeraient un nombre à cinq chiffres, ce qui est exclu.
Notons donc \(ab= 10a+b\) (respectivement \(cd = 10c+d\)) l’âge de Marie (respectivement Bruno), où \(a, b, c\) et \(d\) sont des entiers entre \(0\) et \(9\).
On sait que le nombre à quatre chiffres \(abcd = 1000a+100b+10c+d\) est le carré d’un entier \(x\).
Dans \(31\) ans, leurs âges seront
\(10a+b+31 = 10(a+3)+(b+1)\) et \(10c+d+31 = 10(c+3)+d+1\).
Ce sont encore des nombres à deux chiffres et l’on sait que
\(1000(a+3)+100(b+1)+10(c+3)+d+1\) est le carré d’un autre entier \(y\).
On en déduit que
\begin{align*}
y^2 &= 1000(a+3)+100(b+1)+10(c+3)+d+1\\
&=abcd+3131 =x^2+3131,
\end{align*}
autrement dit \[(y-x)(y+x)=3131=31\times 101.\]
Comme \(y>x\), on a \(y-x=31\) et \(y+x=101\).
En résolvant ce système linéaire, on trouve \(x=35\) et \(y=66\).
Par conséquent, \(x^2=1225\) et \(y^2=4356\).
On en déduit que Marie a \(12\) ans et Bruno a \(25\) ans.
Post-scriptum
Le calendrier est publié aux Presses Universitaires de Grenoble, sous la direction scientifique de Romain Joly.
Crédits images
©JROBALLO / Adobestock
15h26
Un cube a douze arêtes, mais nous avons ici onze allumettes seulement.
Construisons donc un cube avec douze allumettes, ôtons une allumette, et il nous reste 4 carrés constitués de onze allumettes.
12h59
Bonjour
Au départ toutes les allumettes sont dans le même plan. Pour obtenir votre cube à 11 allumettes, il faudrait en sortir au moins 7 hors de ce plan, mais l’énoncé autorise seulement 4 déplacements.
Pour ma part j’ai bien obtenu 4 carrés, tous de côté \(\frac{1}{2}\), mais en déplaçant 5 allumettes. Je ne vois aucune solution !
13h07
Bien vu, tout à l’enthousiasme de ma réponse, je n’avais pas lu correctement l’énoncé.
10h12
Haha! L’astuce est de « casser » les carrés existant en remontant les 2 allumettes du bas à 1/2 allumettes et de prendre 2 allumettes du grand carré sur la partie haute afin de former les 4 carrés de longueur 1/2 allumettes.
Le grand carré et les 2 du bas on disparu. On se retrouve bien avec 4 carrés en ayant déplacé que 4 allumettes.