Paul Bourgade

Adrien Rossille : Votre domaine de recherche s’inscrit dans l’étude de l’universalité des matrices aléatoires. En quoi cela consiste-t-il ?

Paul Bourgade : L’universalité d’une formule consiste en sa pertinence au-delà du cadre où elle est initialement prouvée par des calculs exacts. Dans le cadre des matrices aléatoires, c’est-à-dire des tableaux de nombres choisis aléatoirement, cela revient à montrer par des méthodes analytiques que des lois statistiques pour le moins exotiques apparaissent quelle que soit la distribution des coefficients de la matrice. En probabilités, l’universalité des lois liées aux événements indépendants est bien comprise. Mais celle des statistiques provenant d’objets corrélés l’est généralement beaucoup moins et les matrices aléatoires s’inscrivent dans ce contexte.

Adrien Rossille : Comment ce domaine d’études est-il né ?

Paul Bourgade : Le point de départ a été proposé par Eugene Wigner en 1955. Sa conjecture est que seulement une poignée de lois apparaissent dans la description statistique des niveaux d’énergie de tous les systèmes corrélés, et que ces lois sont donc universelles. Même si son hypothèse est encore très loin d’être prouvée dans le cas général, de nombreux exemples allant dans le sens de cette vision ont été démontrés. Sa première intuition était que les niveaux d’énergie des atomes lourds répondent aux mêmes lois que la répartition des valeurs propres des matrices aléatoires. Ceci a été prouvé expérimentalement dans les années 1980. Encore plus étonnant, en 1972, Hugh Montgomery a rapproché les matrices aléatoires et la théorie des nombres. Sa conjecture est que les zéros de la fonction zêta de Riemann ont la même répartition que des valeurs propres de matrices aléatoires. Comme ces zéros sont reliés aux nombres premiers, cela crée un lien inattendu entre ces domaines a priori éloignés.

Adrien Rossille : Cette conjecture de Montgomery est-elle maintenant prouvée ? Où en est-on dans ce domaine de recherche 50 ans plus tard ?

Paul Bourgade : Presque un demi-siècle après, on ne sait toujours pas la prouver. Les expériences numériques appuient cette hypothèse, mais au niveau théorique il n’y a pas eu d’avancées inconditionnelles. On sait que cette conjecture est équivalente à des informations très précises sur la répartition des nombres premiers, d’où un intérêt certain.

Adrien Rossille : Et justement, vous, Paul Bourgade, à quelle question vous intéressez-vous plus particulièrement ? Maintenant que l’on connaît le contexte historique de votre domaine de recherche, pouvez-vous expliquer plus précisément vos travaux actuels ?

Paul Bourgade : Mon travail est essentiellement probabiliste. Je m’intéresse aux matrices aléatoires, et en particulier à l’universalité de la distribution de leurs valeurs propres et vecteurs propres. Par exemple, pour une matrice aléatoire dont chaque coefficient suit une distribution gaussienne, on peut calculer exactement la distribution des valeurs propres. En revanche, si les coefficients ont une distribution non gaussienne, on ne peut plus faire le même constat. Toutefois, si la matrice aléatoire est suffisamment grande, c’est-à-dire si on fait tendre ses dimensions vers l’infini, on peut alors justifier que la distribution des valeurs propres est proche du cas où les coefficients sont gaussiens. On sait montrer ce phénomène pour de nombreux modèles mais malheureusement pas encore pour ceux qui décrivent des systèmes réalistes de particules.

Adrien Rossille : Quelle est l’implication de vos recherches dans d’autres domaines scientifiques, notamment en physique ?

Paul Bourgade : Mon domaine de recherche est étroitement relié à la physique théorique. L’exemple que je vous ai expliqué est en effet tiré d’un phénomène physique auquel s’intéressent les physiciens théoriciens, avec lesquels je suis en constante collaboration. La preuve mathématique confirme que même dans une situation de grand désordre, un ordre apparaît au niveau statistique dans les niveaux d’énergie. Ensuite, plus récemment, nous essayons d’utiliser les matrices aléatoires pour comprendre les phénomènes dits de transition entre localisation et délocalisation, pour comprendre quand une particule soumise aux lois quantiques est confinée dans un petit domaine de l’espace.

Adrien Rossille : Vous travaillez actuellement au Courant Institute à New York. Quel parcours vous a amené à traverser l’Atlantique ?

Paul Bourgade : J’ai effectué ma thèse à l’Université Pierre et Marie Curie, sous la direction de Marc Yor. J’ai ensuite voulu travailler sur l’universalité en matrices aléatoires, et à l’époque de grands progrès sur cette question étaient réalisés sur la côte est des États-Unis. J’ai rejoint dans un premier temps le groupe d’Horng-Tzer Yau, à l’université d’Harvard, puis le Courant Institute en 2014.

Adrien Rossille : Votre domaine de recherche reste-t-il circonscrit aux États-Unis ou est-il maintenant aussi très présent en Europe ?

Paul Bourgade : La communauté de chercheurs qui s’intéresse à ces questions a beaucoup grandi depuis une dizaine d’années, car de nombreuses nouvelles méthodes ont été introduites. Ce domaine d’études est aussi devenu très important en Europe. Cette résidence de six mois à Paris grâce à la Chaire Poincaré m’a permis de lier de nombreux contacts avec la communauté de recherche française. Un point important de mon séjour a été une conférence avec de nombreux chercheurs européens, que j’aurais eu de la peine à organiser outre-Atlantique.

Adrien Rossille : Quelle est cette conférence ?

Paul Bourgade : Elle concerne l’analogie entre la théorie des nombres et les matrices aléatoires. Elle s’est tenue à l’Institut Henri Poincaré du 17 au 21 juin 2019. La Chaire Poincaré a été pour moi une opportunité pour réunir une trentaine de chercheurs à l’IHP pendant une semaine. Le thème de nos échanges était la conjecture de Fyodorov et Keating qui date de 2012, à propos de valeurs extrêmes en théorie des nombres et en matrices aléatoires. D’importantes avancées ont été réalisées sur cette question et cela continue. La conférence a par exemple permis la première présentation publique d’un résultat remarquablement précis concernant les maxima locaux de fonctions L, qui a été publié seulement une semaine avant !