Pavages

Les surprises font partie du plaisir de toute promenade. Le prix Nobel de chimie 2011 décerné à Daniel Shechtman pour sa découverte des quasi-cristaux est une belle surprise qui amène en cadeau d’intéressantes questions ¹⁰À l’article de Pierre de la Harpe et Félix Kwok, j’aimerais ajouter le billet L’énigme des pentagones écrit par Étienne Ghys.. Dans un article très récent, Pierre de la Harpe et Félix Kwok évoquaient dans ce site le fait remarquable que « les pavages […] invoqués par les théoriciens des quasi-cristaux aient été découverts avant les quasi-cristaux eux-mêmes ». La voici, « la déraisonnable efficacité des mathématiques dans les sciences naturelles » pour utiliser les mots du physicien Eugene Wigner. Mais le plus surprenant est que la découverte du professeur Shechtman trouve ses sources mathématiques quelques siècles auparavant.

Convenons qu’un pavage est la donnée d’un nombre fini de polygones dont les copies par translation (ou par isométrie) recouvrent le plan. On suppose d’habitude que deux polygones se touchent toujours face à face. Les exemples les plus simples sont les pavages réguliers obtenus à partir d’un seul polygone régulier. Voici trois pavages de ce type-là :

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Identiques à eux-mêmes autour de tout pavé, ils possèdent donc la même nature répétitive des arbres décrits dans le billet précédent. Cette remarque découle aussi d’une propriété importante : ces pavages sont respectés par deux translations indépendantes et donc il suffit de connaître une portion finie pour les reconstruire (contrairement à ce qui se passait avec les arbres mentionnés). On dit qu’ils sont périodiques.

Une question naturelle se pose alors : peut-on construire d’autres pavages réguliers, mettons à partir d’un pentagone régulier ? L’impossibilité d’une telle construction – liée au fait qu’un pavage régulier ne peut être respecté que par des rotations d’ordre 2, 3, 4 ou 6 – avait déjà intéressé Johannes Kepler au début du XVIIème siècle. Dans le Livre II (De Congruentia Figurarum Harmonicarum) de son œuvre Harmonices Mundi ¹¹ Kepler, Harmonices Mundi. Lincii Austriae, Sumptibus Godofredi Tampachii, excudebat Ioannes Plancus, 1619. Version française : L’harmonie du monde. Trad. et notes J. Peyroux, Librairie A. Blanchard, 1979., publié à Linz en 1619, il construit un pavage avec une symétrie pentagonale. En fait, Kepler ne montre qu’une portion du pavage, mais il prend bien soin de vérifier que ce motif se prolonge en un pavage ¹²« Et sic consequenter, unaquaelibet forma quinquangula fert novi aliquid. Structura est laboriosissima et artificiosissima, visenda ad eandem literam Aa. » Une traduction en français pourrait être : « Ainsi, lors de sa progression, ce motif à cinq angles introduit continuellement de nouvelles visions. La structure est riche de détails et très compliquée. Voir le diagramme labélisé « Aa » » (page 64 du document numérique de l’hyperlien précédent). Reprenons le motif de Kepler (sans la petite erreur de l’imprimeur dans le « monstrum » – « duo Decagoni inter se commissi » – en haut) :

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Le pavage Aa de Kepler est évidemment apériodique, en ce sens qu’il n’est respecté par aucune translation. Mais on peut aussi construire un pavage périodique avec ces mêmes pavés. On trouvera dans cet article une explication de l’intérêt de cette discussion.

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Mais reprenons notre chemin et reformulons donc la question posée dans les billets précédents : pourquoi le pavage de Kepler est-il beau ? Il partage avec l’alliage métallique découvert par Shectman (dont le diagramme de diffraction est montré dans l’image ci-dessous) une symétrie décagonale :

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Cette même symétrie apparaît dans le fameux pavage par fléchettes et cerfs-volants construit par Roger Penrose en 1974. Dans son papier Pentaplexity ¹³ R. Penrose, Pentaplexity. Eureka, 39 (1978), 16-32. Article reproduit dans la revue Mathematical Intelligencer, 2 (1979/80), 32-37., il construit d’abord un pavage à l’aide de pentagones, losanges, pentagrammes et portions de pentagrammes :

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Comme auparant, ces mêmes pièces pavent le plan de façon périodique. Pour éviter ce phénomène, on peut ajouter des fentes et des languettes. C’est ainsi que Penrose obtient un exemple de six protopavés apériodiques, c’est-à-dire qui ne pavent le plan que de façon apériodique. Grâce à une division astucieuse, il réduit ce nombre à deux : la fléchette et le cerf-volant.

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Comme l’arbre de Kenyon, les pavages de Kepler et de Penrose sont répétitifs ¹⁴On les dit aussi quasi-périodiques., en ce sens que toute portion finie peut être retrouvée à l’intérieur de n’importe quelle portion suffisamment grande ¹⁵Il y a des pavages construits à l’aide des pavés de Kepler et de Penrose qui ne sont pas répétitifs car ils combinent des motifs des pavages périodiques et apériodiques. Quand on introduit des fentes et des languettes, on fait disparaître ces pavages.. Bien qu’ils ne soient respectés par aucune translation, ils restent semblables à eux-mêmes autour de tout pavé. En réalité, ces deux pavages sont égaux (et donc l’affirmation précédente se ramène à celle de Penrose) :

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Que la découverte du professeur Shechtman ait été précédée par celle de Kepler – 363 ans plus tôt –, en rassemblant beauté et utilité, semble prodigieux. Mais en fait un siècle auparavant, dans son deuxième livre sur la géométrie ¹⁶A. Dürer, Underweysung der Messung. Nürnberg, 1525. Version française : Géométrie. Trad. et présentation de Jeanne Peiffer, Seuil, 1995. Sur ce site, on peut voir une édition de 1538 contenant le livre De Symetria partium in rectis formis humanorum corporum de 1532., Albrecht Dürer écrivait :

« Maintenant, je souhaite mettre bout à bout quelques figures polygonales, telles qu’elles peuvent servir dans le pavement des sols. »

Après les triangles, les carrés et les losanges, il s’occupe des pentagones : il construit un pavage apériodique à l’aide de pentagones et de losanges ayant une symétrie décagonale ¹⁷Dürer propose une deuxième construction de type aléatoire à l’aide de « pentagones qui forment des roses ».. Voici la portion décrite par Dürer :

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qu’on peut étendre de manière évidente :

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Le pavage de Dürer ne semble pas être répétitif ou quasi-périodique ¹⁸Dans son article, Lück affirme que le pavage de Dürer n’est pas répétitif. Il parle d’un noyau de symétrie d’ordre 5, mais on trouve ce type de noyau dans les pavages Aa de Kepler et de Penrose par fléchettes et cerfs-volants., mais cette image montre que la construction reste d’une certaine manière « répétitive ».

À LIRE/VOIR AUSSI

• A. Alvarez, Fléchettes et cerfs-volants dans le ciel mathématique. Images des Mathématiques, 16 novembre 2010.
• E. Janvresse, T. De la Rue, Nobel de chimie et pavages de Penrose. Images des Mathématiques, 10 octobre 2011.
• C. S. Kaplan. A meditation on Kepler’s Aa. In Bridges 2006 : Mathematical Connections in Art, Music and Science, pages 465-472, 2006.
• Á. Lozano Rojo, Decorando el plano. Matematicalia, 7 (2), Junio 2011
• R. Lück, Dürer-Kepler-Penrose, the development of pentagon tilings. Materials Sicence and Engineering, 294-296 (2000), 263-267.