Permutation des aiguilles d’une pendule

Quand vous voyez une horloge, vous avez l’impression de voir une symétrie d’ordre 12. Il y en a deux autres, d’ordre 11 et 13 un peu cachées, mais qu’on peut découvrir en voyageant.

Le décalage horaire entre Paris et Montréal est de 6h. Sur cette photo vous voyez l’horloge du vieux port de Montréal.

Horloge du vieux port, Montréal

Pensez-vous qu’il existe un moment de la journée où l’heure de Paris se déduise de celle de Montréal par une simple inversion des aiguilles : la petite étant alors interprétée comme la grande et la grande comme la petite ? Non, impossible, pour un décalage d’un nombre entier d’heures, la grande aiguille doit rester au même endroit… ainsi seul le décalage de 12h répond donc à la question. Oui, mais ne nous arrêtons pas là.

Quels sont les points sur la planète où le décalage horaire solaire peut parfois s’obtenir par inversion d’aiguilles ? S’il y a un écart entier : seulement 12h, on l’a vu. Cet écart est réalisé combien de fois et à quelles heures exactement ?

Mais il y a d’autres solutions ! Par exemple quand les deux aiguilles forment un secteur dont la bissectrice passe par midi, le célèbre 10h10 environ. Combien y a-t-il de telles solutions ? Et à quelles heures exactement ?

Mais il y a encore d’autres solutions ! Partons d’une heure aux aiguilles superposées, disons 2h11 environ et de sa symétrique par exemple : 9h49. Faisons avancer doucement le temps au départ de 9h49 en même temps que de faire reculer le temps au départ de 2h11. Vers 10h09 on retrouve la solution symétrique par rapport à la verticale dont on a déjà parlé.

On peut raisonner comme précédemment avec un départ fixé dans un sens et un autre départ en sens inverse de n’importe où. Vous voyez la symétrie d’ordre 13 ? Une fois les aiguilles tournent dans le même sens, une fois dans le sens inverse, ça fait à peine une grosse ²Une grosse est une douzaine de douzaine : 12×12=144 de solutions au total.

Une résolution plus algébrique est peut-être plus convaincante pour certains, celle que je propose ici tient compte a priori des symétries. Je ne sais pas ce qui est le plus clair, qu’en pensez-vous ?

Aussi, il y a peut-être des amateurs pour le jeu des permutations sur 3 aiguilles…