Polska Biblioteka Wirtualna Nauki

Il y a quelques jours, en cherchant une référence sur le paradoxe de Banach-Tarski ⁶Le paradoxe de Banach-Tarski est un théorème mathématique qui affirme que l’on peut découper une boule en un nombre fini de morceaux puis déplacer chacun de ces morceaux de façon à reformer une boule de rayon deux fois plus grand. Intuitivement, cela paraît impossible car l’on a envie de croire que le volume devrait être conservé. L’argument ne marche en fait pas car les parties découpées ont des formes tellement bizarres qu’il n’est pas possible de leur attribuer un volume. Pour plus de détails, on pourra consulter Wikipedia., je suis tombé sur le site de la Polska Biblioteka Wirtualna Nauki (bibliothèque polonaise de sciences en ligne) qui regroupe de nombreux articles mathématiques très intéressants d’un point de vue mathématique certainement, mais aussi historique car certains textes datent du début du 20ème siècle. On y trouve en particulier de magnifiques exposés de Sierpinski et de Banach, de surcroît généralement très bien rédigés, et souvent même en français ! Certains d’entre eux pourraient d’ailleurs être susceptibles d’intéresser les professeurs en licence (ou classes préparatoires) puisqu’on y démontre des théorèmes qui, de nos jours, sont parfois proposés comme exercices à ce niveau.

Pour en revenir au paradoxe de Banach-Tarski, on trouve également le texte original de Banach et Tarski dans le tome 6 de Fundamenta Mathematicae. Mais, encore mieux que cela, j’aimerais commenter rapidement un autre article de Banach intitulé Sur le problème de la mesure ⁷Pour ceux qui auraient la flemme d’aller chercher le papier, voici un lien direct.. En haut de la page 15 (juste après la fin de la démonstration), Banach définit ce qu’il appelle un corps. C’est très instructif de relire ce texte aujourd’hui car le sens que Banach prête au mot « corps » n’est pas du tout celui qu’il a actuellement (en mathématiques, je veux dire) mais correspond plutôt à la notion actuelle de sous-espace vectoriel (de l’espace de hyperfonctions, mais peu importe) ! De même, à la page suivante, définition 11, Banach introduit les applications additives qui, aujourd’hui, portent le nom d’applications linéaires ! Il est donc à peu près clair qu’au début du 20ème siècle, l’algèbre linéaire n’avait pas encore été étudiée de façon complètement systématique, mais cela n’empêchait manifestement pas les mathématiciens de l’époque (tel Banach) d’y démontrer des théorèmes profonds. Pour preuve, le théorème 16 de l’article de Banach n’est rien d’autre qu’un cas particulier ⁸Le but de Banach étant de démontrer un résultat de théorie de la mesure, celui-ci énonce « le théorème d’Hahn-Banach » juste dans le cadre qui l’intéresse. Toutefois, la démonstration qu’il en donne s’étend presque mot pour mot au cas général. du résultat connu aujourd’hui sous le nom de théorème d’Hahn-Banach. Je ne saurais l’affirmer avec certitude mais il est probable que ce soit, là, la première preuve de ce théorème ⁹Wikipedia précise que le théorème apparaît dans sa version analytique, pour la première fois, en 1932, dans les écrits de Banach. La référence que j’évoque est, quant à elle, antérieure, puisqu’elle date à peine de 1923. Toutefois, comme je l’ai déjà dit, on n’y trouve pas vraiment le théorème d’Hahn-Banach tel que nous l’entendons aujourd’hui, et il est on ne peut plus probable qu’en 1923, Banach n’ait pas eu conscience que son théorème 16 (ou du moins sa démonstration) ait une portée bien plus grande que celle de résoudre un problème de théorie de la mesure. En ce sens, l’affirmation de Wikipedia paraît justifiée.. Ainsi, le théorème d’Hahn-Banach aurait été démontré initialement dans le but d’établir un résultat de théorie de la mesure, à savoir la construction d’une mesure finiment additive sur tous les sous-ensembles du plan ¹⁰ Bien sûr, au final, au moins pour ceux qui connaissent, ce n’est pas non plus très surprenant..

Bien sûr, je suis encore loin d’avoir épuisé toutes les richesses de ce merveilleux site. J’espère en tout cas que, comme moi, vous trouverez beaucoup de plaisir à parcourir ou étudier certains des articles que l’on y trouve.