Quelques aspects de l’œuvre de Kiyoshi Itō

Kiyoshi Itō, l’un des très grands probabilistes du 20ème siècle, est décédé à Kyoto, le 10 novembre 2008, âgé de 93 ans. Il venait de recevoir, le 6 novembre 2008, « l’Ordre de la Culture », distinction ultime décernée par l’Empereur du Japon. Il avait reçu le Prix Gauss, récompensant les applications de ses travaux « au monde réel » au Congrès International des Mathématiciens, tenu à Madrid, en 2006. K. Itō était membre associé de l’Académie des Sciences de Paris depuis 1989, et membre associé de l’Académie des Sciences des Etats-Unis depuis 1998. K. Itō a formé, au Japon, une école de Probabilités extrêmement féconde ; N. Ikeda, H. Kunita, M. Fukushima, S. Watanabe sont des élèves de K. Itō, qui, à leur tour, ont eu de nombreux élèves.

Les « excursions » d’Itō

Venons en maintenant à la présentation succincte, dans un premier temps, de deux grands thèmes développés par K. Itō, et qui l’ont rendu célèbre : le calcul stochastique d’Itō et la théorie des excursions d’Itō.

Le calcul stochastique d’Itō, et en particulier la célèbre « formule d’Itō », constituent maintenant un pilier central du calcul des probabilités portant sur les processus stochastiques. Ces travaux, publiés entre 1942 et 1951, ont mis environ 25 ans avant d’être intégrés dans tous les cursus d’études approfondies en Probabilités.

En 1970, K. Itō publie un second travail révolutionnaire dans lequel il développe la théorie des excursions d’un processus de Markov, permettant en particulier de reprendre et compléter les travaux de Paul Lévy sur les excursions browniennes.

K. Itō est également l’auteur d’un volume sur les processus de Markov infinidimensionnels, sujet qu’il affectionnait particulièrement, lui qui écrivait, dans la Préface de ses Selected Papers (1987) : « à partir d’un certain moment, je me suis mis à considérer systématiquement un point de vue infinidimensionnel, même pour des études probabilistes qui ne mettent en jeu que des processus finidimensionnels ». Voyons maintenant comment cette phrase d’Itō permet d’éclairer sa théorie des excursions d’un processus de Markov. Pour simplifier, limitons nous aux excursions hors d’un point donné (sur la droite réelle), par exemple, le point 0, du mouvement brownien réel. Il s’agit là de l’ensemble des morceaux de la trajectoire brownienne situés entre deux zéros. En se plaçant dans une échelle de temps naturelle pour cette étude, à savoir l’inverse du temps local en 0, Itō montre que l’ensemble des excursions est un gigantesque processus de Poisson. Ceci est admirable, à un plus d’un titre : alors que les trajectoires du mouvement brownien réel sont extrêmement compliquées, celles du processus de Poisson sont d’une extrême simplicité : il s’agit des marches d’un escalier, de hauteur constante égale à une unité, mais dont la longueur (ou la durée) de chaque marche est une variable aléatoire de loi exponentielle. En fait, la théorie des excursions d’Itō consiste à associer aux trajectoires browniennes une infinité de tels processus de Poisson, dont on connaît bien les propriétés de dépendance (ou d’indépendance). Ainsi, à ce prix de la considération d’une infinité de dimensions, Itō a pu remplacer la complexité des trajectoires browniennes par des infinités de marches d’escalier…

D’un point de vue « pratique » (tout relatif !), la théorie des excursions d’Itō permet de calculer très simplement les lois de nombreuses fonctionnelles du mouvement brownien, en faisant – par exemple – du calcul intégral, ou différentiel, sur ces trajectoires de Poisson, ce qui est beaucoup plus simple que d’avoir à manier le calcul stochastique d’Itō (pour le mouvement brownien), lequel est – malgré sa relative simplicité – un calcul de second ordre, où l’on est vite confronté aux équations de Sturm-Liouville et de Ricatti.

Restant toujours dans le cadre de la théorie d’Itō des excursions browniennes, celle-ci permet de construire de nombreux processus à accroissements indépendants stationnaires, maintenant appelés processus de Lévy. Cette « unification », consistant à voir les processus de Lévy à l’intérieur même du mouvement brownien est elle aussi tout à fait remarquable, et tranche avec l’enseignement « classique » de ces processus pour lequel, traditionnellement, on se donnait pour objectif de décrire tous les processus de Lévy, puis on parvenait à l’expression de leur fonction caractéristique, et enfin on remarquait que, parmi eux, il y avait seulement, pour processus à trajectoires continues, le mouvement brownien avec dérive constante. Avec Itō, on est amené, au contraire, à partir du mouvement brownien, à chercher à construire, à l’aide des trajectoires browniennes (et de l’inverse du temps local) autant de processus de Lévy que possible… En 1981, Knight d’une part, et Kotani-Watanabe d’autre part, décriront précisément les processus de Lévy que l’on peut ainsi obtenir.

Le calcul stochastique

l est certainement temps de discuter un peu du sujet développé principalement par Itō, et dont les innombrables applications l’ont rendu célèbre : « le calcul stochastique d’Itō », terme qui rassemble à la fois la théorie de l’intégration stochastique, par rapport au mouvement brownien, et plus généralement à la somme d’une martingale et d’un processus à variation bornée, ainsi que la théorie des équations différentielles stochastiques.

De quoi s’agit-il ? Dans un premier temps, Itō montre que l’on peut intégrer par rapport à la « différentielle du mouvement brownien » des processus dépendant de tout le passé du mouvement brownien, enrichissant ainsi considérablement la théorie de Paley-Wiener qui ne permettait que d’intégrer des fonctions déterministes.

Dans un second temps, Itō utilise sa théorie de l’intégrale stochastique pour « poser » et résoudre des équations différentielles stochastiques ; une grande difficulté pour cela est qu’il faut s’assurer a priori que le processus inconnu est bien mesurable par rapport au passé du mouvement brownien ! C’est, en particulier, ce que prouve Itō, en montrant que la méthode d’itération de Picard, pour les équations différentielles ordinaires, a son analogue stochastique, lorsque les coefficients de l’équation sont supposés lipschitziens.

Mais le programme d’Itō va beaucoup plus loin : cette étude n’est pas « gratuite » , mais a en fait un objectif bien précis : la méthode d’itération de Picard va permettre de « transférer » l’indépendance des accroissements du mouvement brownien en une propriété de Markov du processus solution de l’équation différentielle stochastique.

Ainsi, à partir de sa théorie de l’intégrale stochastique, K. Itō peut construire, en travaillant « directement » sur les trajectoires browniennes de nombreux processus de Markov, qui avaient jusqu’alors fait l’objet de beaucoup d’études – celles de Kolmogorov en particulier – mais qui avaient un caractère beaucoup plus analytique.

Les deux chefs d’œuvre d’Itō, que je viens d’évoquer, consistent en fait à faire du calcul « intérieur » sur les trajectoires browniennes, réussissant ainsi souvent à supplanter le calcul « extérieur », beaucoup plus analytique, bien développé dans l’ère pré-Itō ( : Feynman-Kac, Kolmogorov, par exemple).

Autrement dit, Itō a su trouver la façon parfaitement adaptée de faire du calcul (différentiel, intégral,…) portant sur les fonctionnelles browniennes, ou de processus de Markov. Comment cela ? Eh bien, « tout simplement » en faisant du calcul différentiel et intégral « directement » sur les trajectoires du mouvement brownien.

En définitive, le succès des travaux d’Itō réside très certainement dans la qualité des outils qu’il a su créer, outils parfaitement adaptés aux nombreuses tâches auxquelles est confronté l’étudiant du mouvement brownien.