Quelques jours dans les Cévennes

Une propriété remarquable

De nombreux travaux ont vu le jour ces dernières années autour des systèmes dynamiques mesurés, de la théorie mesurée des groupes ainsi que des algèbres de von Neumann. Ces progrès sont le fruit de nombreuses interactions entre ces thématiques et c’est dans cet esprit qu’est né AGORA, un projet financé par l’Agence Nationale de la Recherche (ANR) qui regroupe des mathématiciens européens particulièrement intéressés par ces développements et les couplages avec la théorie géométrique des groupes, la topologie, la théorie des représentations, les graphes aléatoires, la théorie descriptive des ensembles… pour n’en citer que quelques-uns. Ne vous inquiétez pas trop si tous ces termes mathématiques ne vous parlent pas ou même vous paraissent barbares… Il y en aura d’autres dans la suite et ce n’est pas grave pour mon propos ; j’aimerais simplement dans ce billet donner un avant-goût d’une propriété très intéressante et des mathématiques qui l’accompagnent.

Ah au fait… AGORA, ça veut dire Actions, Groupes, OpéRateurs, Algèbres et pour notre première rencontre, nous avons choisi de nous retirer quatre jours de ce mois de novembre dans les Cévennes ⁷Au passage, je remercie tous les figurants qui posent sur les photos de ce billet, à l’insu de leur plein gré !.

Dire que nous nous sommes retirés du monde n’est pas exagéré : pas de réseau de téléphone portable et une connexion internet pas terrible du tout… Cela dit, le plus important est que nous avons reçu un accueil des plus chaleureux et je ne peux que vous recommander la Maison Clément pour vos prochaines vacances. Sans compter que depuis notre passage, il y a maintenant un tableau noir pour travailler ! Alors c’est parti. Au programme, trois mini-cours, un fil conducteur, la propriété (T), et un auditoire passionné !

L’histoire commence avec un article visionnaire ⁸D. Kazhdan — Connection of the dual space of a group with the structure of its closed subgroups, Func. Anal. Appl. 1 (1967), 63-65. de David Kazhdan. Dans cet article de trois pages, Kazhdan introduit une propriété étonnante, démontre que certains groupes familiers ont cette propriété et en déduit un corollaire remarquable. Quarante années plus tard, il est devenu difficile d’énumérer toutes les conséquences qu’on peut déduire de cette propriété.

Bon mais c’est quoi cette propriété ? Pas facile d’expliquer… Commençons par des choses simples. Donnons-nous un groupe dénombrable \(G\), disons par exemple \(\mathbf{Z}\) (les entiers relatifs) ou SL\(_3(\mathbf{Z})\) (les transformations linéaires entières de déterminant \(1\)) et intéressons-nous à ses {représentations orthogonales}. Inutile de savoir exactement ce que c’est, retenons deux choses à propos de l’ensemble de toutes les représentations orthogonales de \(G\) :

-* l’une d’entre elles est un peu spéciale car elle n’est pas intéressante du tout : c’est la représentation triviale ;

-* ça a du sens de dire que deux représentations orthogonales sont plus ou moins proches l’une de l’autre.

Ayant ça en tête, imaginons un instant que la représentation triviale ne soit proche d’aucune autre représentation orthogonale : elle est au milieu, toute seule, isolée. Eh bien, quand c’est le cas, ça mérite un nom et Kazhdan déclare que le groupe \(G\) a la propriété (T). Pourquoi (T) ? Le T, c’est tout simplement le ‘t’ de (la représentation) triviale. Et les parenthèses pour nous rappeler qu’elle est isolée… Notation astucieuse, n’est-ce pas ?

Un exemple fondamental de groupe dénombrable ayant la propriété (T) est certainement SL\(_3(\mathbf{Z})\) et il s’agit d’un théorème difficile (que d’ailleurs Kazhdan prouve dans ses trois pages !). Il y a aussi les groupes finis qui ont tous la propriété (T) mais là, c’est plutôt un exemple trivial qui découle directement de la définition. Un prototype de contre-exemple ? Le groupe \(\mathbf{Z}\) qui possède une propriété très importante mais qui est en un certain sens orthogonale à la propriété (T): c’est la {moyennabilité} ⁹ Propriété déjà évoquée dans ce billet..

Quelques mots sur le corollaire remarquable que Kazhdan déduit de sa propriété (T) et que j’évoquais un peu plus haut. Mais d’abord, un petit tour par les entiers naturels. Parmi eux certains sont souvent sous le feu des projecteurs : ce sont les nombres premiers. Car le théorème fondamental de l’arithmétique dit essentiellement que tout entier naturel est un produit de nombres premiers. Par exemple \(825=3 \times 5^2 \times 11\). Du coup, bien souvent, on qualifie les nombres premiers de «briques élémentaires», un peu comme les particules élémentaires des physiciens. Eh bien, c’est un peu cette idée qu’on retrouve pour un groupe \(G\) ayant la propriété (T) : il existe un ensemble fini de briques élémentaires dans \(G\), c’est-à-dire qu’on peut trouver \(n\) éléments \(g_1 \cdots g_n\) dans \(G\), de sorte que tout autre élément puisse être recomposé à partir de ces derniers ¹⁰Deux différences importantes qu’il faut cependant noter. L’ensemble des nombres premiers est infini, c’est le théorème d’Euclide : on doit travailler avec un ensemble infini de briques élémentaires pour les entiers naturels alors que le point crucial pour les groupes ayant la propriété (T), c’est qu’un ensemble fini de briques élémentaires suffit. L’autre différence, c’est qu’il y a unicité de la factorisation en nombre premier (à l’ordre près), alors que ce n’est pas du tout le cas pour nos groupes. Et d’ailleurs il n’y a pas non plus unicité de l’ensemble fini des briques élémentaires. Tout cela n’est pas très grave puisque le point crucial, c’est de savoir qu’on peut trouver dans notre groupe un ensemble fini de briques élémentaires.. On dit qu’un tel groupe est de {type fini} et c’est bien sûr une information très utile en général. Je ne surprendrai personne en disant que la géométrie des groupes de type fini est une page de mathématiques absolument passionnante et d’une très grande richesse !

Et là où Kazhdan est très fort (!), c’est qu’il en déduit d’un coup cette propriété de type fini non pas pour un seul groupe mais pour une classe très large de groupes qu’on appelle des {réseaux}. Bien sûr, il faudrait donner une définition précise de réseau mais disons simplement que l’idée intuitive qu’on peut avoir d’un réseau est en général une très bonne image. D’ailleurs \(\mathbf{Z}^2\) est bien un réseau dans le plan, même au sens des mathématiciens !

Après toutes ces premières émotions, un besoin de grand air se fit sentir et comme la région est magnifique, ce fut un plaisir de poursuivre nos discussions sur quelques sentiers. Enfin… les plus courageux bien sûr !

J’aimerais essayer d’expliquer ici un théorème étonnant et très joli… dû à Andrés Navas ¹¹A. Navas — Actions de groupes de Kazhdan sur le cercle, Ann. Sci. École Norm. Sup. 35 (2002), 749-758..

Théorème [Navas]
Soit \(G\) un sous-groupe dénombrable du groupe Diff\((\mathbf{S}^1)\) des difféomorphismes lisses du cercle. Si \(G\) a la propriété (T), alors \(G\) est fini.

Le cercle \(\mathbf{S}^1\) est un objet central en mathématiques. Même si ce n’est pas si évident à démontrer, la droite réelle \(\mathbf{R}\) et le cercle \(\mathbf{S}^1\) sont les seuls objets géométriques (plus précisément on parle de {variétés}) de dimension 1, ce qui explique qu’on les rencontre si souvent. On va s’intéresser aux applications bijectives du cercle et en particulier à celles qui sont continûment dérivables deux fois, ainsi que leurs inverses. C’est ça que j’appelle difféomorphismes lisses du cercle ¹²En général, on réserve le qualificatif  lisse pour les difféomorphismes infiniment dérivables.. Bien sûr, si l’on compose deux difféomorphismes lisses, on obtient encore un difféomorphisme lisse puisqu’il est bien connu que la composée de deux applications continues (resp. dérivables) est encore continue (resp. dérivable). Voilà, nous avons mis la main sur le groupe Diff\((\mathbf{S}^1)\) et on aimerait bien appréhender un peu mieux ce groupe «plutôt gros». Des exemples de difféos lisses ? Eh bien, les rotations bien sûr, qui forment un sous-groupe de Diff\((\mathbf{S}^1)\). D’ailleurs ce sous-groupe des rotations contient lui-même des sous-groupes «plus petits» (par définition !). Par exemple, si on considère une rotation d’angle \(\pi\), elle engendre un sous-groupe qui contient seulement deux éléments : cette rotation et l’identité. Plus généralement, si on prend une rotation d’angle \(2\pi /n\) (\(n \in \mathbf{N}^{\star}\)), celle-ci engendre un sous-groupe contenant \(n\) éléments exactement. Bref, tout ça pour dire qu’il est très facile de trouver des sous-groupes finis. Et des sous-groupes dénombrables ? Oui il y en a beaucoup, par exemple le sous-groupe engendré par une rotation d’angle \(2\pi \alpha\), où \(\alpha\) est un nombre irrationnel : ce sous-groupe est en fait isomorphe à \(\mathbf{Z}\). Mais comme je l’ai écrit plus haut, ce groupe Diff\((\mathbf{S}^1)\) est très gros et contient beaucoup plus que des rotations et beaucoup de sous-groupes dénombrables infinis.

Revenons à notre théorème et notre propriété préférée. Que dit le théorème ? Tout simplement qu’aucun sous-groupe dénombrable \(G\) de Diff\((\mathbf{S}^1)\) n’a la propriété (T) ! Sauf bien sûr, si \(G\) est fini. Mais comme on l’a dit, les groupes finis ne sont pas des groupes très intéressants du point de vue de la propriété (T).

 

-* Pourquoi ce théorème est-il étonnant ? Car Diff\((\mathbf{S}^1)\) est véritablement un gros groupe et les exemples de groupes ayant la propriété (T) ne manquent pas aujourd’hui.

-* Pourquoi ce théorème est-il joli ? Parce son énoncé est simple et dit quelque chose de profond sur un objet très naturel : le groupe des difféos lisses du cercle.

Cette première rencontre fut un vrai succès et au final on a compris pas mal de choses. Grâce à qui ? Nos orateurs bien sûr qui ont fait de super exposés mais pas seulement. Car les malheureux ont été interrompus constamment et des centaines de questions ont été posées. Ces débats/discussions sont très riches et très stimulants : quand quelqu’un comprend un petit truc, il l’explique alors à tout le monde et bien souvent cela permet de mettre l’accent sur des difficultés qu’on aurait peut-être manquées seul dans son bureau.