Problème "Fox and Holes" avec de nouveaux déplacements du renard et n terriers
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Un renard, Fox, est dans l’un de n terriers alignés (n ≥ 3).
Chaque nuit, Fox passe du terrier occupé à l’un des deux terriers parmi celui juste à gauche et celui juste à droite de celui juste à droite.
Chaque jour, nous pouvons regarder dans l’un des terriers pour voir si Fox y est.
Donner une stratégie pour trouver Fox.
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Solution du troisième défi
Rappel du défi
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Un renard, Fox, est dans l’un de six terriers alignés.
Chaque nuit, Fox passe du terrier occupé à l’un des deux terriers parmi celui juste à gauche et celui juste à droite de celui juste à droite.
Chaque jour, nous pouvons regarder dans l’un des terriers pour voir si Fox y est.
Donner une stratégie pour trouver Fox.
Modélisation
Pour modéliser le problème, nous pouvons toujours numéroter les terriers, mais cette fois de 1 à 6. Et, pour tenir compte de la distinction entre le déplacement vers la gauche et celui vers la droite, nous allons convenir que le terrier 1 est « tout à gauche », que le terrier 6 est « tout à droite », et ainsi que « celui juste à gauche » signifie que Fox a diminué de 1 le numéro du terrier dans lequel il se trouve et que « celui juste à droite de celui juste à droite » signifie que Fox a augmenté de 2 le numéro du terrier dans lequel il se trouve.
Une stratégie
Premier temps : si Fox est à l’origine dans un terrier dont le numéro est un multiple de 3
Ainsi, Fox est soit en 3, soit en 6.
Si nous regardons en 3 et si Fox s’y trouve, c’est terminé, sinon, c’est qu’il est en 6.
Cependant, du terrier 6, la seule possibilité qu’il a est d’aller dans le terrier 5 et en regardant enfin dans le terrier 5, on le trouve.
Conclusion : dans ce premier temps, la suite « \(3, 5\) » est une stratégie qui permet de trouver Fox.
Deuxième temps : si Fox est à l’origine dans un terrier dont le numéro est le prédécesseur d’un multiple de 3
Ainsi, Fox est, à l’origine, soit en 2, soit en 5.
En appliquant un « \(3,5\) » comme ci-dessus, Fox se déplace d’abord sur le successeur d’un multiple de 3, puis sur un multiple de 3. Nous sommes donc ramenés au premier cas où nous trouvons Fox par « \(3, 5\) ».
Conclusion : dans ce deuxième temps, « \(3, 5, 3, 5\) » permet de trouver Fox.
Troisième temps : si Fox est à l’origine dans un terrier dont le numéro est le successeur d’un multiple de 3
Ainsi, Fox est, à l’origine, soit en 1, soit en 4.
En appliquant un « \(3, 5, 3, 5\) » comme ci-dessus, Fox se déplace d’abord sur un multiple de 3, puis sur le prédécesseur d’un multiple de 3, puis sur le successeur d’un multiple de 3 et enfin sur un multiple de 3. Nous sommes donc ramenés au premier cas où nous trouvons Fox par « \(3, 5\) ».
Conclusion : dans ce troisième temps, « \(3, 5, 3, 5, 3, 5\) » permet de trouver Fox.
Conclusion globale
Nous avons une stratégie pour trouver Fox, à savoir « \(3, 5, 3, 5, 3, 5\) ».
Remarque :
pour le problème 3, nous nous sommes efforcés de justifier qu’il n’existe pas de stratégie plus courte que celle proposée et aussi de déterminer toutes les stratégies les plus courtes.
Les stratégies qui permettent de trouver assurément Fox sont :
« \(2,4,2,4,2,4\) », « \(2,4,4,3,3,5\) », « \(3,3,4,4,4,3\) », « \(3,5,2,4,4,3\) »,
« \(3,5,3,5,3, 5\) », « \(4, 3, 3, 3, 4, 4\) », « \(4, 3, 3, 5, 2, 4\) » et « \(4, 3, 4, 3, 4, 3\) »
(résultat obtenu de façon informatique).
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Solution du dernier défi
Post-scriptum
La rédaction d’Images des maths, ainsi que les auteurs, remercient pour leur relecture attentive, les relecteurs dont le pseudonyme est le suivant -projetmbc, Walter et Gautier Dietrich.
ÉCRIT PAR
François Dessenne
Maître de conférences - Université de Lille
Jean Fromentin
Professeur - Université du Littoral Côte d’Opale, Calais
Denis Vekemans
Maître de conférences - INSPÉ Lille Nord de France - Université du Littoral Côte d'Opale
