Défi de la semaine
Quatre cercles de même rayon sont tangents entre eux et à deux cercles concentriques. Le petit cercle a un rayon de \(1\)cm. Quel est le rayon du plus grand cercle ? 
Solution du 4e défi de septembre 2023
Réponse : \(10\), \(11\), \(12\), \(13\) et \(14\).
Notons \(x-2\), \(x-1\), \(x\), \(x+1\) et \(x+2\) les cinq entiers naturels consécutifs.
Alors la condition cherchée est équivalente aux équations suivantes~:
\[
\begin{eqnarray*}
(x+1)^2+(x+2)^2 &=& x^2+(x-1)^2+(x-2)^2\\
x^2+2x+1+x^2+4x+4 &=& x^2+x^2-2x+1+x^2-4x+4\\
x^2-12x &=& 0\\
x(x-12) &=& 0.
\end{eqnarray*}
\]
Donc \(x = 0\) ou \(x = 12\).
Comme les entiers doivent être strictement positifs, la seule solution est \(x = 12\).
Par conséquent, les nombres sont: \(10\), \(11\), \(12\), \(13\) et \(14\).
Post-scriptum
Le calendrier est publié aux Presses Universitaires de Grenoble, sous la direction scientifique de Romain Joly.
Crédits images
©JROBALLO / Adobestock
ÉCRIT PAR
Romain Joly
Maître de conférences - Institut Fourier de Grenoble
10h31
Soit \(R\) le rayon du grand cercle et \(r\) celui des cercles moyens. On a \(R=2r+1\). De plus en appliquant le théorème de Pythagore au triangle rectangle isocèle formé par le centre du petit cercle et deux centres de cercles moyens tangents entre eux, on obtient \(2(1+r)^2=4r^2\) d’où en résolvant \(r=1+\sqrt(2)\) et finalement \(R=2\sqrt(2)+3\).
14h01
2(1+r)²=4r² —> r=1+√3
Et R=2√3+ 3
15h12
\(2(1+r)^2=4r^2\) on développe et simplifie \(r^2-2r-1=0\), puis \((r-1)^2=2\) et \(r=1\pm \sqrt2\)
8h13
Oups ? Effectivement