Défi de la semaine : problème du mois
Dans la figure ci-dessous, un grand carré est découpé en deux rectangles et un petit carré rouge. Les aires des deux rectangles sont \(10\,cm^2\) et \(3\,cm^2\). Quelle est l’aire du petit carré rouge ?
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Solution du cinquième défi de août 2024
Réponse : il existe \(1012+506=1518\) nombres entiers entre \(1\) et \(2024\) qui peuvent s’écrire comme la différence de deux carrés.
On veut trouver tous les entiers \(n\), avec \(1\leq n\leq 2024\), tels que \(n=x^2-y^2=(x+y)(x-y)\), avec \(x\geq 0\) et \(y\geq 0\) des nombres entiers.
Si \(n\) est impair, posons \(n=2k+1\) et alors \(n=(k+1)^2-k^2\).
Si \(n\) est pair, comme \(n=(x+y)(x-y)\), au moins un des deux facteurs (\(x+y\) ou \(x-y\)) doit être pair.
Mais comme \(x+y+(x-y)=2x\) est pair, les deux nombres \(x+y\) et \(x-y\) doivent être pairs.
Par conséquent, \(n=(x+y)(x-y)\) doit être un multiple de \(4\).
Une possibilité pour l’écrire comme une différence de deux carrés est de poser \(x-y=2\) et \(x+y=2(\frac{n}{4})\). En résolvant ce système, on trouve \(x=1+\frac{n}{4}\) et \(y=\frac{n}{4}-1\), ce qui donne \(n=(1+\frac{n}{4})^2-(\frac{n}{4}-1)^2\).
Comme il y a \(1012\) entiers impairs et \(\frac{2024}{4}=506\) entiers multiples de \(4\) entre \(1\) et \(2024\), il existe \(1012+506=1518\) nombres entiers entre \(1\) et \(2024\) qui peuvent s’écrire comme la différence de deux carrés.
Post-scriptum
Le calendrier est publié aux Presses Universitaires de Grenoble, sous la direction scientifique de Romain Joly.
Crédits images
©JROBALLO / Adobestock
ÉCRIT PAR
Romain Joly
Maître de conférences - Institut Fourier de Grenoble
14h06
Appelons ‘x’ le petit côté du carré rouge. Puisque la figure constitue elle-même un carré, alors la longueur du rectangle d’aire 3 cm² est égale à la largeur du rectangle d’aire 10 cm². Appelons là ‘a’.
Nous constatons que :
ax = 3 cm²
a * (a + x) = 10; a² + ax = 10 cm²
En remplaçant ‘ax’ par 3, nous obtenons alors :
a² + 3 = 10; a² = 7; a = √7 cm
En remplaçant ‘a’ par la nouvelle mesure obtenue dans la première équation, nous calculons :
x√7 = 3; x = 3 / √7 cm
L’aire du petit carré rouge est donc :
(3 / √7)² = 9 / 7 cm².
17h16
En constatant que le rectangle de 10 cm² à qui on ote un rectangle de 3 cm² donne un carré de 7 cm², donc de côté √7 cm.
1ere solution: le rectangle de 3 cm² = x √7 , d’où x = 3/√7 ce qui donne l’aire du petit carré: 9/7.
2e solution: Soit un rectangle de côté a+b et x+y qu’on coupe en 4 rectangles de côté ax, ay, bx, by avec bien sûr aucun côté nul . On a l’égalité (ax)/(ay)=(bx)/(by). En appliquant cela à notre problème, cela donne S/3=3/7 d’où la surface du carré 9/7
Cette 2e solution je l’ai « trouvée » en constatant que 9/7=3*3/7 qui sont les surfaces de l’énigme 🙂