Stanley Osher, prix Gauss 2014

Le prix Gauss pour l’application des mathématiques récompense :

— des contributions mathématiques qui ont eu des applications pratiques significatives à l’extérieur des mathématiques ou,

— des découvertes qui ont rendu possible l’application de méthodes mathématiques innovantes en dehors des mathématiques.

Le prix 2014 est attribué à Stanley Osher, professeur à l’Université de Californie à Los Angeles (UCLA). C’est un mathématicien appliqué, avec des contributions fondamentales au calcul scientifique. Il est cofondateur de trois entreprises dont l’activité est basée sur ses travaux.

Il a influencé toute une génération de mathématiciens appliqués et établi de nombreux liens avec l’industrie.

Les méthodes et les concepts qu’il a inventés pour les équations aux dérivées partielles ont non seulement permis un regard nouveau sur ce sujet mais elles sont également une source d’inspiration en mathématiques pures.

Approximation des systèmes hyperboliques, et lois de conservation

Quand Stanley Osher a commencé sa carrière, à la fin des années 60, c’était une époque pendant laquelle de nouveaux super-calculateurs étaient construits. C’était aussi l’époque du programme Apollo et de la conquête de la Lune. Beaucoup d’efforts étaient faits pour améliorer les performances des avions et des fusées. Stanley Osher est l’un de ceux qui ont travaillé à développer des schémas numériques efficaces dans ce contexte. On avait compris que les méthodes numériques de l’époque ne pouvaient pas être crédibles car elles ne prenaient pas en compte le second principe de la thermodynamique. Stanley Osher et ses collaborateurs ont alors réussi à inclure systématiquement la thermodynamique dans des codes numériques, qui furent ensuite implémentés par la NASA. Les résultats numériques étaient bien plus précis.

Les méthodes « level sets

Quand une surface évolue, par exemple l’interface entre deux milieux, sa topologie peut changer de manière soudaine, par exemple si une bulle apparaît. Décrire les équations qui régissent le mouvement d’une telle surface en mouvement est inextricable, précisément à cause de ces « bifurcations ». L’idée de Osher et ses collaborateurs, simple mais fondamentale, a consisté à représenter une surface comme le niveau d’une fonction. Une fonction peut évoluer de manière lisse même si les surfaces de niveau bifurquent. Par exemple, la figure suivante illustre l’évolution des courbes de niveau dans une région montagneuse, lorsque la hauteur change.

La montagne est bien lisse, mais on voit bien que la forme des courbes change. D’un point de vue théorique et numérique, il est bien préférable de travailler avec une fonction qu’avec une surface : c’est la méthode des « level sets » de Osher, qui date des années 80. Il s’agit d’une idée qui a eu des conséquences importantes en mécanique des fluides, du solide, mais aussi dans le domaine de la restauration des images.

Tout cela est utilisé par exemple dans le cinéma pour représenter le mouvement de l’eau, par exemple dans le film Avatar.

Restaurer des images

Le travail de Osher est à l’origine de ce qu’on appelle aujourd’hui le « compressed sensing » qui est l’une des méthodes modernes les plus efficaces de restauration d’images. Aujourd’hui, Osher et ses collaborateurs développent des algorithmes extrêmement puissants. On raconte qu’il a été capable de résoudre une petite tache sur une photographie et de montrer qu’il s’agissait en fait d’un tatouage en forme de rose et que cela a permis de démasquer un criminel. La police utilise aujourd’hui ses méthodes !