Synonymes, homonymes

Synonymes

Dès nos premiers pas dans l’univers mathématique, nous sommes confrontés aux synonymes. Mais le plus souvent, ceux-ci s’avancent masqués, sous la forme d’une définition, d’une équation ou d’une équivalence. La ligne droite est le plus court chemin entre deux points, \(5+7=12\), un triangle est équilatéral si et seulement si ses trois angles sont égaux à 60 degrés… Nous pourrions interpréter ces énoncés familiers en disant par exemple que les expressions « plus court chemin entre deux points » et « ligne droite » sont synonymes. Est-il bien clair, cependant, qu’en employant indifféremment ces deux termes on ne perd aucune information ? Sommes-nous sûrs de désigner exactement la même chose, ou bien l’identification que nous formulons est-elle un reflet de notre ignorance ? Par exemple, l’homme de la rue pourrait croire que calculateur et mathématicien sont synonymes quand c’est loin d’être le cas. Pourtant la clarté des énoncés mathématiques les met, à première vue, à l’abri de ces imprécisions : 5+7=12, n’est-ce pas absolu et universel ?

Oui, si l’on est d’accord sur le sens des signes qui composent cette expression. Les nombres 5, 7 et 12 seront accessibles à partir de 1, mais définir l’unité est bien délicat (voir la note du bas de la page E.III.24 du Bourbaki de théorie des ensembles), et c’est aussi le cas de l’égalité comme Archimède l’a déjà compris. Passons donc au plus court chemin entre deux points : les rayons du soleil tels qu’on les voit suivent bien une droite, mais le plus court chemin sur une sphère sera un arc de grand cercle. Quant au triangle équilatéral sur notre Terre, il peut avoir trois angles droits s’il est formé d’un quart de l’équateur et de deux méridiens perpendiculaires ! Nous voyons donc qu’il nous faut bien préciser le cadre dans lequel on s’exprime avant de donner un sens univoque à nos expressions mathématiques, qu’elles soient faites de symboles ou de mots.

Les logiciens du siècle dernier ont mis toute leur peine à construire ces cadres, en énonçant des systèmes d’axiomes sur lesquels se base une théorie mathématique : l’arithmétique repose ainsi sur les sept axiomes de Peano, la théorie des ensembles sur les neuf axiomes de Zermelo et Fraenkel. Dès lors que les objets de la théorie et leurs règles de manipulation sont ainsi précisés, nous pouvons penser que les mathématiques reposent sur une syntaxe sans défaut, d’où sont chassés de pseudo-synonymes trompeurs. Le premier exemple d’une telle axiomatique remonte aux Éléments d’Euclide et à ses cinq postulats, qui sont : deux points déterminent un segment de droite et un seul ; tout segment de droite se prolonge en un segment de droite plus grand ; étant donné un centre et un rayon le cercle correspondant existe ; tous les angles droits sont égaux ; par un point extérieur à une droite passe une droite parallèle et une seule. Euclide et ses émules nous ont-ils donc délivrés de l’équivoque ? Examinons la question.

Homonymes

Les postulats d’Euclide sont de nature assez différente : les quatre premiers ne sont que le mode d’emploi des outils de la géométrie élémentaire : règle, compas et équerre. Le cinquième est un énoncé intuitif à première vue, vrai dans la géométrie euclidienne que nous apprenions au collège mais qui n’est pas immédiatement vérifiable. Pendant plus de vingt siècles, les géomètres se sont efforcés de déduire le cinquième postulat des quatre premiers, jusqu’à ce que Gauss, puis Lobachevsky et Bolyai comprennent que c’était impossible, en construisant des modèles de la géométrie où les quatre premiers sont satisfaits mais pas le cinquième : l’hyperbolique où existent une infinité de parallèles, la riemannienne où il n’y en a pas. Le sens des mots droite, point, cercle formulés dans les quatre premiers postulats est donc ambigu ! En effet, nous avons appelé droite un objet de la géométrie, bien déterminé dans la syntaxe euclidienne, mais voici que la sémantique nous expose à l’homonymie : le mot droite possède diverses interprétations dans les modèles de la géométrie des quatre premiers postulats. Shakespeare fait dire à Juliette qu’une rose peut bien changer de nom sans changer de parfum. Nous sommes ici dans la situation inverse : la rose ne change pas de nom, c’est le parfum qui change.

Appelons modèle une structure dont un langage formel a l’étude pour contenu. C’est donc un domaine où vit un langage formel et dont les éléments permettent de donner un sens aux énoncés de ce langage. Par exemple, nous disposons depuis le début du dix-huitième siècle de trois modèles de la géométrie : euclidien, hyperbolique et riemannien. Nous y sommes désormais habitués, et on ne se demande plus quelle est la vraie géométrie, d’autant que les modèles non euclidiens se sont révélés très utiles pour la physique et la cosmologie. Mais il y a plus troublant : nous disposons maintenant de différents modèles de l’arithmétique. En d’autres termes, les axiomes de Peano, très simples et qu’on pourrait considérer comme le mode d’emploi d’un calculateur (machine de Turing ou ordinateur) admettent différents modèles : les entiers intuitifs, les vrais entiers peut-on dire – le choix de ces termes est significatif – et d’autres moins intuitifs mais qui restent formellement corrects. Cette multiplicité des modèles est l’expression des découvertes de Kurt Gödel, qui a montré l’existence d’énoncés de l’arithmétique indécidables, c’est-à-dire qu’on ne peut démontrer ni l’énoncé ni sa négation.

Un analogue géométrique en est la propriété « la somme des angles d’un triangle est égale à deux droits » qui n’est pas démontrable sans le cinquième postulat, et qui est donc indécidable à partir des quatre premiers. Cette indécidabilité, qui ne fait qu’empirer si l’on ajoute des axiomes (comme Gödel l’a également montré), est dans la nature des choses : nous croyons savoir sans ambiguité ce qu’est un nombre entier, mais c’est une illusion. Laissons le mot de la fin à Jorge Luis Borges, qui écrit dans « La bibliothèque de Babel » : « Un nombre n de langages possibles se sert du même vocabulaire : dans tel ou tel lexique, le symbole Bibliothèque recevra la définition correcte système universel et permanent de galeries hexagonales, mais Bibliothèque signifiera pain ou pyramide ou tout autre chose, les sept mots de la définition ayant un autre sens. » Notre pauvre langue ne dispose que d’un nombre fini de signes, quand les mathématiques nous confrontent à l’infini. Comment donc échapper à l’homonymie ?