La bande de Möbius est un objet mathématique assez sympathique et relativement connu. Le plus simple pour construire cette bande est de partir d’un rectangle en papier et de recoller les deux petits côtés en ayant, auparavant, vrillé la bande d’un demi-tour. En pratique, si le rectangle est beaucoup plus long que large ce sera plus facile.
La propriété principale de cette bande est d’être non-orientable. On pourra se reporter à l’article de Patrick Popescu-Pampu pour beaucoup plus de détails. Pour voir un phénomène dû à cette non-orientabilité, découpons notre bande dans sa longueur.
Après avoir fait le tour de la bande, on se rend compte que l’on obtient une seule longue bande et non deux comme on pouvait s’y attendre ! Evidemment, c’est la vrille d’un demi-tour qui en est responsable.
Petit défi
Le défi est le suivant. A partir d’un triangle et d’un bout de ruban adhésif, construire une nouvelle bande de Möbius. A vous !
A tous les coups, la première tentative va aboutir à un cône.
Pour résoudre le problème (n’hésitez pas à chercher par vous-même la solution !), nous allons commencer par tricher et sortir une paire de ciseaux. De nouveau, en pratique il est plus facile de partir d’un triangle isocèle avec une grande base plutôt que d’un triangle équilatéral. Découpons le triangle en deux.
Nous avons maintenant deux demi-rectangles.
Retournons un triangle et collons ces deux triangles le long du grand côté.
Avec ce rectangle, nous savons comment faire !
Nous avons quand même triché en utilisant les ciseaux. En analysant notre tricherie, nous allons comprendre comment réussir le défi sans tricher. Dans l’opération ci-dessus, deux côtés du triangle se sont trouvés assemblés le long de la diagonale du rectangle. Partons d’un rectangle, traçons la diagonale et collons les deux petits côtés du rectangle pour faire une bande de Möbius.
Maintenant découpons sur le trait que nous avons fait le long de la diagonale du rectangle.
Et voici notre triangle !
Pour construire une bande de Möbius à partir d’un triangle, il suffit de refaire l’opération en sens inverse ! Il faudra se rappeler, quand même, comment les deux côtés étaient collés. La photo ci-dessous, prise en cours de découpe, pourra vous aider à retrouver comment les deux bords du triangle étaient attachés.
ÉCRIT PAR
Bruno Duchesne
Professeur - Université Paris-Saclay
