Le Laplacien

Moyennes, et écarts de Laplace

Commençons avec un exemple. Considérons la carte des régions de France, représentée sur la figure suivante avec ses vingt-deux régions métropolitaines. À droite, seules les relations de voisinage sont conservées : chaque région est remplacée par un point, et deux points sont liés par un segment lorsque les deux régions associées sont voisines.

Région de France métropolitaine (cliquer pour agrandir).

À gauche, les régions. À droite, une version schématique des relations de voisinage (on a laissé le pourtour de la France pour faire joli). Par convention, nous avons décidé que la seule région voisine de la Corse était la région Provence-Alpes-Côte d’Azur.

Considérons maintenant une caractéristique régionale, par exemple la température annuelle moyenne, le nombre de centrales nucléaires, ou encore le nombre d’exploitations agricoles pour chaque région. Pour traiter en détail un exemple, nous avons choisi la densité de population, c’est-à-dire le nombre d’habitants au kilomètre carré. À chaque région est donc associée une valeur, égale au rapport entre le nombre d’habitants et la superficie de la région (exprimée en kilomètres carrés). Ainsi, le point situé à l’extrême sud-ouest correspond à la région Aquitaine, et sa densité de population est
de 78 habitants par kilomètre carré [1].

Densité de population par région

On peut lire sur cette carte des disparités importantes entre régions ; prises dans leur ensemble, les valeurs fluctuent de 35 à 956 habitants par kilomètre carré. Cependant, localement, les variations sont souvent plus faibles. C’est le cas pour la Basse-Normandie, dont toutes les régions frontalières ont une densité de population comparable.

Comment quantifier ces variations locales, qui existent entre une région et ses voisines ? Une première option est de calculer les différences de densité entre chaque région voisine et la région concernée. Pour chaque paire de régions adjacentes, on dispose ainsi d’un nombre : la différence des densités de population des deux régions.
Si l’on veut comprendre les disparités entre la Basse-Normandie, par exemple, et ses quatre voisines, on obtient alors la liste de différences $-33,$ $-26,$ $19$ et $-65,$ qui
montre que la Basse-Normandie est en déficit par rapport à trois de ses quatre voisines. Si les gens cherchaient à gagner de l’espace, ils migreraient donc de la Basse-Normandie vers la région Centre tandis que certains Bretons et Hauts-Normands iraient en Basse-Normandie. On parlera de gradient pour faire référence à ces différences entre deux régions voisines ; ainsi, la valeur du gradient entre la région Île-de-France et la région Bourgogne est de $976-52=924$ habitants au kilomètre carré (entre la région Bourgogne et la région Île-de-France, c’est l’opposé : $-924$).

Une seconde méthode consiste à faire la moyenne de toutes les différences calculées précédemment. Cela revient à calculer l’écart entre la mesure effectuée en un point et la moyenne des mesures effectuées aux points voisins :
\[ {\text{Moyenne sur les voisins}}  - {\text{valeur au point}}. \]

Chaque région se trouve donc affublée d’une nouvelle quantité égale, au signe près, à l’écart entre sa densité de population et la moyenne des densités des régions immédiatement voisines. Ces écarts seront appelés écarts de Laplace dans la suite ; ils sont fournis sur la figure suivante pour les densités de population.

Ecarts de Laplace pour les densités de population

En vert, les régions où les habitants ont plus de place que leurs voisins.

Les écarts de Laplace dévoilent les régions qui sont en déficit d’habitants au kilomètre carré, ou en excès, par rapport à leurs voisines : il suffit pour le savoir de regarder le signe de l’écart. De plus, ils quantifient ces différences : c’était le but recherché lors de leur définition !

$\Delta$ : l’opérateur de Laplace

Les écarts de Laplace peuvent être employés dans de nombreux contextes, à chaque fois que l’on veut comprendre, dans une situation géométrique donnée, les variations locales d’une certaine quantité.

Ainsi, les données essentielles pour définir ces variations de Laplace sont

• le support géométrique, c’est-à-dire le lieu où sont effectuées les observations. La carte des régions de France utilisée ci-dessus ou la carte scolaire si on veut étudier la répartition des élèves sont des exemples. Ce pourrait être aussi le globe terrestre, modélisé par une sphère, si on veut étudier les variations de relief. Ou bien une corde de guitare dont on voudrait étudier les vibrations. Dans la suite, nous noterons $p$ les points de ce support géométrique.
• une relation de voisinage : les régions ou les écoles voisines par exemple. Cette donnée sera précisée petit à petit, suivant les contextes.
• une quantité observée : ce peut-être la « densité de population », la « température moyenne annuelle », le « nombre d’élèves par classe », l’« altitude », le « déplacement de la corde » etc. C’est au choix, suivant le phénomène étudié. Dans la suite nous parlerons de « fonction » pour cette quantité et nous la noterons souvent $h$. Ainsi $h(p)$ désignera la valeur de $h$ au point $p$. Par exemple, pour la densité de population et le point $p=$ Bretagne nous avons $h(p)= 117.$

Dans cette situation, une fois donnée la fonction $h$, nous pouvons calculer les écarts de Laplace en chaque point $p.$ Une nouvelle fonction est ainsi construite qui, à chaque point $p$ associe l’écart de Laplace de $h$ en ce point. On note $\Delta h$ cette nouvelle fonction : pour tout point $p$ en lequel on étudie $h,$ on obtient la formule
\[ \Delta h (p) = {\text{ Moyenne de }} h {\text{ sur les voisins de }} p - h(p) \]
où $h(p)$ est la valeur de $h$ en $p$ et $\Delta h (p)$ est celle de $\Delta h.$

La vie en harmonie

Revenons à notre exemple et cherchons maintenant à décrire les répartitions de population sur le sol français qui sont les plus équitables. La première chose à faire est de se donner une définition de ce qu’on entend par équitable. Exigeons par exemple que les disparités de densité soient les plus faibles possible. Pour cela, il faut et suffit que la densité de population soit la même partout ; disons, ici, la même dans chaque région qui est l’échelle à laquelle notre exemple se situe.

Si l’unique loi régissant le choix du lieu de résidence était une recherche du maximum de place disponible, un flux migratoire devrait donc s’instaurer pour tendre à cet état d’harmonie : progressivement, chaque région fournirait des habitants à ses voisines moins peuplées et en recevrait de ses voisines à densité de population supérieure. Au bout d’un certain temps, ceci réduirait les différences de densité et les écarts de Laplace à zéro (ou presque [2]).

Dans cet exemple simple, on voit donc que l’harmonie correspond simultanément à des écarts de Laplace et des gradients nuls. Étudions maintenant une situation différente, car soumise à des contraintes. Imaginons donc que la densité de population soit contrainte en certaines régions ; par exemple, que la densité de population est

• faible dans les régions côtières, celles qui côtoient les mers : une densité trop forte créerait des mouvements sociaux pour les marins, et autres habitants amoureux des grands espaces ;
• forte dans les régions frontalières qui touchent les pays voisins (c’est un modèle comme un autre, ne cherchons pas à le justifier).

Pour fixer les idées, supposons que la densité est de $40$ habitants au kilomètre carré pour les premières et de $200$ pour les secondes. Certaines régions ayant simultanément une côte sur la mer et une frontière avec un pays étranger, nous choisirons de retenir en premier lieu le critère maritime.
Ces contraintes étant données, pouvons-nous déterminer ce que devrait être la répartition la plus harmonieuse possible ?

Une première remarque s’impose.

Avec ces contraintes, les gradients ne peuvent être tous nuls.

En effet, si tous les gradients sont nuls, les densités de population
de deux régions voisines sont toujours égales, ceci pour toute paire de régions voisines ; de proche en proche, toutes les régions auraient la même densité, contredisant la contrainte imposant des densités de 40 et de 200 habitants au kilomètre carré.

Par contre, avec ces contraintes, les écarts de Laplace de toutes les régions non-contraintes peuvent être nuls.

Plus précisément, il existe une répartition de la population qui satisfait aux contraintes imposées le long des régions maritimes et frontalières et pour laquelle tous les écarts de Laplace sont nuls en les régions restantes (les cinq régions centrales).
Le meilleur moyen de le montrer est de produire une carte qui réalise de tels écarts de Laplace ! La voici.

Répartition harmonique avec contraintes au bord.

En rouge, les régions maritimes, contraintes à une population de 40 habitants par kilomètre carré ; en vert les régions frontalières. La population centrale, en bleue, s’est adaptée pour que tous les écarts de Laplace y soient nuls (les valeurs sont arrondies).

Pour résumer, il est donc possible de vivre en harmonie sous contrainte ... Plus précisément, les habitants qui ne sont pas directement soumis aux contraintes (ceux des régions centrales) vivent en harmonie : en moyenne, ils ont autant de place par tête de pipe que les habitants des régions voisines. Bien sûr, pendant ce temps-là, les régions contraintes n’ont pas l’opportunité d’être en harmonie avec leurs voisines ; la contrainte, justement, ne le permet pas. Par exemple, dans ce cas de figure, la région Provence-Alpes-Côte d’Azur a une densité de 40 habitants par kilomètre carré, car c’est une région maritime, tandis que la moyenne sur ses voisines est de $280/3=93,3.$

L’énergie de Dirichlet

On peut développer une approche « énergétique » au problème précédent de répartition des populations.

Il s’agit de présenter une autre façon de détecter, parmi toutes les configurations possibles laquelle est la plus équitable, la plus harmonieuse. Pour cela, à chaque configuration $h$, on associe un nombre, qu’on appelle énergie de Dirichlet ; comme celle-ci dépend de $h,$ nous la notons $E(h).$ Cette énergie est calculée de la façon suivante. Pour chaque paire de régions limitrophes $p$ et $q$ (par exemple $p=$ Île-de-France et $q=$ Centre), on calcule le gradient $h(p)-h(q),$ puis on l’élève au carré. On somme ensuite toutes ces quantités. Autrement dit
\[ E(h) = {\text{somme des carrés des gradients}} \]
\[ ={\text{ somme de }}(h(p)-h(q))^2 {\text{sur toutes les paires de régions limitrophes}}. \]
Remarquons tout de suite que l’énergie est toujours positive [3], qu’une grande disparité entre deux régions voisines crée une grande énergie et que l’énergie est nulle si, et seulement si, tous les gradients sont nuls. Cette énergie de Dirichlet est donc une mesure qu’on espère raisonnable du défaut d’harmonie, de la disparité globale de répartition des populations sur le territoire. D’une certaine manière, une répartition pour laquelle cette énergie est minimale peut donc être considérée comme la plus équitable. Ce faisant, nous venons d’introduire une nouvelle définition du concept de répartition équitable. [4]

Revenant aux contraintes maritimes et frontalières, trouver la configuration la plus équitable consiste donc désormais à chercher la configuration $h$ décrivant les densités de population qui vérifie :

1. $h(p) =40$ pour les régions côtières,
2. $h(p)=200$ pour les régions frontalières (frontières terrestres),
3. L’énergie $E(h)$ est la plus petite possible parmi toutes les distributions $h$ satisfaisant aux deux contraintes précédentes.

Il se trouve que ce problème a une unique solution, qui coïncide avec la répartition décrite dans le paragraphe précédent :

Il existe une unique distribution de la population qui, sous les contraintes imposées, minimise l’énergie de Dirichlet. Cette distribution coïncide avec la répartition de population qui répond aux contraintes et pour laquelle les écarts de Laplace sont nuls en chaque région centrale.

Nous avons donc introduit deux concepts d’harmonie

• le premier à l’aide de l’opérateur de Laplace. Il demande que la valeur en une région centrale soit égale à la moyenne des valeurs sur les régions voisines. La notion d’harmonie est ici une notion locale : une région est en harmonie si elle l’est avec ses voisines.
• le second, qui demande de minimiser l’énergie de Dirichlet, est de nature globale, puisqu’il s’agit tout d’abord de calculer cette énergie $E(h),$ qui dépend de tous les gradients.

Eh bien ces deux notions d’harmonie coïncident. Démontrer ce fait n’est pas totalement évident ; nous le faisons, en partie, dans le dépliant suivant.

Laplaciens continus

L’exemple précédent permet de traiter toutes sortes de situations dans lesquelles
la géométrie sous-jacente correspond à un nombre fini de points dont certains sont reliés par des arêtes qui modélisent les relations de voisinage.
Une figure analogue à la représentation schématique des régions de France apparaît alors et les mêmes raisonnements s’appliquent.

La situation est différente si on veut étudier une corde vibrante ou les variations d’altitude à la surface de la Terre. Nous allons maintenant expliquer rapidement
comment étendre la construction à ce cadre nouveau.

Considérons une courbe, comme ci-dessous : ce peut être le profil d’une corde prise en photo après qu’on l’ait faite osciller en tenant deux de ses extrémités ; ou l’altitude du relief au-dessous d’un avion allant de Turin à Grenoble.

Profil

Nous voulons calculer les variations locales en un point $p$ de la hauteur du profil en utilisant la méthode des gradients et des écarts de Laplace.

Une difficulté apparaît car il n’est plus vraiment possible de parler des plus proches voisins de $p.$ Pour pallier ce problème fixons un petit incrément $e$ (appelé aussi « pas ») et considérons les points $p+e$ et $p-e$, que l’on considère alors comme étant les deux voisins (à droite et à gauche) du point $p$. En utilisant les formules
précédentes, les gradients deviennent
\[h(p+e)-h(p)\; \text{ et } \; h(p)-h(p-e)\] et l’écart de Laplace :
\[ {\frac{h(p-e)+h(p+e)}{2} } {\text{}} - h(p). \]
Ce faisant, nous avons remplacé notre corde par une version « discrète » constituée des points espacés de $e$ auxquels les définitions précédentes ont été appliquées.

Sur cette figure, la hauteur de la courbe au point vert est égale à $4,8.$ Les deux points adjacents pour le pas correspondant sont à une hauteur de $3,8$ et $6,1.$ La valeur du gradient entre le point vert et son voisin de gauche est
\[ 4,8-3,8=+1,0\; ; \]
celle entre le point vert et le voisin de droite est
\[ 4,8-6,1=-1,3. \]
L’écart de Laplace au point vert pour ce pas vaut donc
\[ (3,8+6,1)/2-4,8=0,15. \]

Ces écarts ne sont qu’une approximation de ce que l’on désire mesurer, approximation liée au choix de l’incrément $e$ qui entraîne que seul un nombre fini de points, et donc de hauteurs, ont été retenus. Approximation qui reflète aussi le fait que les points à distance $e$ ne sont pas vraiment les plus proches voisins de $p$ !
Il convient alors de choisir $e$ de plus en plus petit (on dit qu’on fait tendre $e$ vers $0$) et de regarder ce qu’il advient des gradients et écarts définis ci-dessus.

Une subtilité apparaît : lorsque la fonction $h$ ne varie pas trop brutalement (comme celle dessinée ci-dessus) les gradients et écarts définis deviennent aussi très petits avec $e.$ Plus précisément, on montre que

• Les gradients discrets se comportent de façon linéaire en $e$. Plus précisément, lorsque $e$ s’approche de $0$, $(h(p + e)-h(p))/e$ s’approche d’une valeur limite qu’on utilise pour définir le gradient de $h$ en $p$ (c’est la définition de la dérivée de $h$ en $p$).
• L’écart de Laplace discret se comporte lui de façon quadratique. Ainsi
  \[ \frac{[h(p-e)+h(p+e)]/2-h(p)}{e^2} \]
  s’approche d’une valeur limite quand $e$ s’approche de $0$.
  Cette valeur limite est le laplacien de $h$ en $p$.

Ainsi, pour définir un laplacien dans un cadre géométrique continu, nous pouvons discrétiser le problème puis faire tendre le pas $e$ de la discrétisation vers $0$ ; il s’agit alors de diviser les quantités observées par la bonne puissance de l’incrément
pour que celles-ci possèdent aussi une valeur limite.

Lorsqu’on poursuit la même stratégie pour une fonction $h$ définie en tous les points
du plan, par exemple pour la fonction altitude sur une carte plane, gradients et écarts de Laplace peuvent alors être calculés en tous les points de la carte. A nouveau apparaissent les dérivées de $h$, comme expliqué dans le dépliant ci-dessous.

Conclusion

L’opérateur de Laplace $\Delta$ a donc plusieurs incarnations. Nous en avons décrit deux. La première, combinatoire, présentée avec le modèle des régions métropolitaines françaises, traduit la notion d’écart à la moyenne avec les voisins. La seconde se déduit de la première en approximant le plan par des grilles de maille de plus en plus fine puis en passant à la limite ; elle conduit à des dérivées secondes.

Suivant le contexte, tous ces points de vue sont utiles. De nombreuses équations modélisant des phénomènes physiques utilisent cet opérateur. C’est le cas en mécanique des fluides (voir ici et là), pour l’équation des ondes et l’étude des figures sonores de Chladni, les partitions minimales, l’équation de la chaleur, l’équation de Schrödinger, etc. Bref, l’opérateur de Laplace est un objet central des mathématiques et des sciences physiques.