Il sera question dans cet article d’une nouvelle forme de calcul développée par Henri Poincaré à partir de 1895, portant sur les figures vivant dans les espaces de dimension quelconque. Elle lui permit de définir des mesures numériques de la forme de ces espaces, leurs nombres de Betti.
Lorsque l’espace est refermé sur lui-même comme une surface sphérique, ces nombres vérifient une étonnante propriété de symétrie, qui porte depuis le nom de dualité de Poincaré. Poincaré en proposa deux stratégies de preuve. Nous décrirons ces stratégies, ainsi que les nouvelles mesures de la forme des espaces découvertes par Poincaré lorsqu’il méditait sur la deuxième d’entre elles. Nous examinerons enfin quelques travaux précurseurs, afin de mieux mettre en évidence l’apport de Poincaré.
ÉCRIT PAR
Patrick Popescu-Pampu
Professeur - Université de Lille
