Le théorème de Bennequin I

« Faire des mathématiques, c’est donner le même nom à des choses différentes »

Par cette phrase déjà discutée dans l’article Égalité d’Étienne Ghys, le mathématicien français Henri Poincaré expliquait qu’une grande force des mathématiques consiste à faire émerger de problèmes et objets en apparence disparates des structures et propriétés communes. Ainsi on peut souvent résoudre beaucoup de questions d’un seul coup en ayant oublié un certain nombre de caractéristiques pour se concentrer sur l’essentiel. Par exemple lorsqu’on applique à un triangle particulier un théorème portant sur tous les triangles, on oublie toutes les caractéristiques individuelles de ce triangle (longueurs des côtés, angles…), on ne le distingue plus des autres triangles mais on retient qu’il a trois côtés. Lorsqu’on s’autorise ainsi à considérer comme égaux une large classe d’objets, il n’est parfois pas évident de savoir quelles caractéristiques sont conservées.

Lorsqu’on oublie ainsi beaucoup de caractéristiques, comment alors distinguer deux choses qui sont vraiment différentes ?

Le but de cet article est d’illustrer cette difficulté par deux exemples faisant actuellement l’objet de nombreuses recherches. Ces deux exemples font partie du vaste monde de la topologie, le domaine des maths où l’on considère comme égales deux choses que l’on peut déformer l’une en l’autre.

Nous allons décrire un théorème fondamental datant de 1982 et dû à Daniel Bennequin, professeur à l’Université de Paris 7.

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