Quand la géométrie vient au secours de l’arithmétique

La théorie des nombres s’intéresse aux solutions en nombres entiers ou rationnels des équations polynomiales. On sait montrer par exemple que l’on peut écrire 1 comme somme de deux carrés rationnels d’une infinité de façons, que −2 est la différence d’un carré et d’un cube d’une infinité de façons, mais qu’il n’y a qu’un nombre fini de possibilités pour écrire 4 comme différence d’une puissance cinquième et d’un carré. La différence entre ces problèmes est de nature géométrique.

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