4 septembre 2011

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Découpage d’Airy et théorème de Pythagore

Objet du mois
[Rediffusion d’un article publié en 2011] Un découpage élégant qui date du dix-neuvième siècle et permet d’illustrer le théorème de Pythagore. Les trois pièces du puzzle peuvent être accrochées ensemble pour en faire un jouet d’un seul tenant.
Piste verte
Le 4 septembre 2011, par Serge Cantat - 6 commentaires

  • Découpage d’Airy et théorème de Pythagore

    le 6 septembre 2011 à 22:30, par François Brunault

    Un découpage similaire est peut-être suggéré dans un commentaire du livre Les neuf chapitres, classique par excellence de la mathématique chinoise. Il s’agit du puzzle de Gougu. Il est donc possible que ce découpage ait en fait été découvert il y a longtemps (Karine Chemla pourrait certainement donner plus de détails à ce sujet). Pour ceux que cela intéresse, je recommande cette présentation vidéo très intéressante des Neuf chapitres par Karine Chemla.

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  • Découpage d’Airy et théorème de Pythagore

    le 29 septembre 2011 à 00:24, par Olivier

    Bonjour, je ne suis absolument pas mathématicien (malheureusement) et je me pose une question toute bête. Pourquoi passer d’une forme triangulaire à une forme carrée comme sur votre exemple, en d’autre terme à quoi sert le théorème de Pythagore ? Les grecs anciens à ma connaissance étaient des gens plutôt pragmatiques et lorsqu’ils ne s’émerveillaient pas devant les lois cachées de la nature (Pythagore), ils cherchaient et enseignaient des règles « utiles » à leurs concitoyens et à la vie de tous les jours (calcul des surfaces, calculs de proportions en architecture etc.). Aussi quel est l’intérêt pragmatique de calculer la surface totale de trois aires à partir d’un triangle ?
    Merci est désolé de l’aspect vraiment terre à terre de ma question.

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    • Découpage d’Airy et théorème de Pythagore

      le 14 novembre 2011 à 22:14, par Olivier

      Bonjour à moi même !
      Les mathématiciens seraient-ils des sortes de consultants auprès de qui il vaudrait mieux poser des questions dont les réponses sont déjà connues (au risque sinon de perdre la signification de sa propre question) ? Ou alors une espèce de psychanalyste qui vous répondrait inlassablement « soigne toi toi même et revient me voir quand tu seras guéri » ?
      Bon, j’ai questionné mon entourage, perdu beaucoup d’amis (qui me croyaient « intelligent » !) puis j’ai appris d’un collègue au bord de la crise de nerf que le théorème n’était pas grec mais d’origine égyptienne ... soit !
      Et en effet, le site de wiki sur la construction mathématiques de la pyramide de Chéops m’oriente, enfin, vers un début de réponse : http://fr.wikipedia.org/wiki/Observation_mathématique_de_la_pyramide_de_Khéops.
      Les égyptiens recherchent une « pente » dotée d’une proportion idéale à leurs yeux (selon un rapport de 14/11ème). Ils leur faut donc calculer ici la longueur de l’hypoténuse, en faisant varier hauteur ou base du triangle afin d’obtenir « la pente idéale ». Puis répéter l’opération symétriquement pour obtenir une pyramide « parfaite ».

      Satisfait d’avoir répondu à ma question, je tombe sur le livre de Pierre Brémaud, « le dossier Pythagore », et là ... patatras ! La piste égyptienne est à abandonner faute de source crédible sur le contenu de la trousse à outil mathématiques de l’architecte égyptien.
      En fait c’est à Babylone, en Mésopotamie, qu’il faut chercher la source véritable du théorème, même si les Grecs eux-même ont semblé l’ignorer. C’est par un « poème » de ce type que les babyloniens se transmettaient la connaissance :
      "... Toi, prends le carré de 30 tu trouveras 900.
      Soustrais 6 de 30 tu trouveras 24.
      Prends le carré de 24 tu trouveras 576.
      Soustrais 576 de 900 tu trouveras 324.
      324 est combien au carré ?
      C’est 18 au carré.
      De 18 sur le sol il s’est éloigné."

      Bon, à mes yeux l’image du mathématicien ne s’est pas franchement amélioré. J’ai certainement encore du mal à pardonner les séances de tortures, pourtant lointaines, qui ont rythmées ma scolarité. Ah si, soyons honnête, Pierre Brémaud est mathématicien de son état, pourtant son livre sur Pythagore est diablement passionnant.

      Sans rancune !

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    • Découpage d’Airy et théorème de Pythagore

      le 14 novembre 2011 à 22:18, par Olivier

      Bonjour à moi même !

      Les mathématiciens seraient-ils des sortes de consultants auprès de qui il vaudrait mieux poser des questions dont les réponses sont déjà connues (au risque sinon de perdre la signification de sa propre question) ? Ou alors une espèce de psychanalyste qui vous répondrait inlassablement « soigne toi toi même et revient me voir quand tu seras guéri » ?
      Bon, j’ai questionné mon entourage, perdu beaucoup d’amis (qui me croyaient « intelligent » !) puis j’ai appris d’un collègue au bord de la crise de nerf que le théorème n’était pas grec mais d’origine égyptienne ... soit !
      Et en effet, le site de wiki sur la construction mathématiques de la pyramide de Chéops m’oriente, enfin, vers un début de réponse.
      Les égyptiens recherchent une pente dotée d’une proportion idéale à leurs yeux (selon un rapport de 14/11ème). Ils leur faut donc calculer ici la longueur de l’hypoténuse, en faisant varier hauteur ou base du triangle afin d’obtenir « la pente idéale ». Puis répéter l’opération symétriquement pour obtenir une pyramide « parfaite ».

      Satisfait d’avoir répondu à ma question, je tombe sur le livre de Pierre Brémaud, « le dossier Pythagore », et là ... patatras ! La piste égyptienne est à abandonner faute de source crédible sur le contenu de la trousse à outil mathématiques de l’architecte égyptien.
      En fait c’est à Babylone, en Mésopotamie, qu’il faut chercher la source véritable du théorème, même si les Grecs eux-même ont semblé l’ignorer. C’est par un « poème » de ce type que les babyloniens se transmettaient la connaissance :
      « ... Toi, prends le carré de 30 tu trouveras 900.
      Soustrais 6 de 30 tu trouveras 24.
      Prends le carré de 24 tu trouveras 576.
      Soustrais 576 de 900 tu trouveras 324.
      324 est combien au carré ?
      C’est 18 au carré.
      De 18 sur le sol il s’est éloigné. »

      Bon, à mes yeux l’image du mathématicien ne s’est pas franchement amélioré. J’ai certainement encore du mal à pardonner les séances de tortures, pourtant lointaines, qui ont rythmées ma scolarité. Ah si, soyons honnête, Pierre Brémaud est mathématicien de son état, pourtant son livre sur Pythagore est diablement passionnant.

      Sans rancune !

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  • Découpage d’Airy et théorème de Pythagore

    le 5 octobre 2011 à 13:50, par log.bertrand

    Bonjour,
    Il me semble que cette démonstration est la m^me que celle de Thabit IBN QURRA, non ? En tout cas elle est très intéressante et très accessible !

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  • Découpage d’Airy et théorème de Pythagore

    le 12 octobre 2011 à 16:02, par Guichard Jean-Paul

    La construction d’Airy, avec la rotation des 2 triangles se trouve dans les Elémens de Géométrie de Clairaut (1753, Seconde partie, paragraphe XVII : Faire un quarré égal à deux autres pris ensemble). Clairaut explique comment trouver le point d’où tirer les 2 segments qui vont servir au découpage, et il déduit de façon évidente, dans le paragraphe suivant, le théorème de Pythagore, puisque l’aire du grand carré est la somme des aires des deux autres et que les côtés de l’un ou l’autre des triangles rectangles tournants sont les côtés des 3 carrés.

    D’où Clairaut tient-il ce découpage, en est-il l’auteur, je l’ignore. En tout cas les commentaires précédents suggèrent deux pistes à explorer.

    Abul Wafa (940-998) traite ce même problème mais avec un autre découpage, qui fait intervenir le même triangle rectangle.

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