16 novembre 2011

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  • Le problème 3n+1 : cycles de longueur 5 (II)

    le 18 juillet 2020 à 15:30, par CAMI

    Tout nombre impair x entier strictement positif peut être représenté par l’une des deux formules suivantes utilisant deux variables entières a et b :

    - ((3*a-2)*2^(2*b)-1)/3 avec a entier impair > 0 et b entier > 0.

    - ((3*a-1)*2^(2*b-1)-1)/3 avec a entier pair > 0 et b entier > 0.

    Démonstration :

    Soit x impair > 0 on a x = 3*x/3 = ((3*x+1)-1)/3 et 3*x+1 est pair puisque x est impair.
    3*x+1 pair est donc le produit d’un nombre impair y par une puissance de 2.
    3*x+1 est 1 modulo 3.
    Les puissances de 2 paires 2^(2*b) sont 1 modulo 3.
    Les puissances de 2 impaires 2^(2*b-1) sont -1 modulo 3.
    Si la puissance de 2 est paire y doit être 1 modulo 3 soit y impair = 3*a-2 et a impair > 0.
    Si la puissance de 2 est impaire y doit être -1 modulo 3 soit y impair = 3*a-1 et a pair > 0.
    Donc x est bien égal à ((3*a-2)*2^(2*b)-1)/3 avec a impair > 0 et b >0
    ou égal à ((3*a-1)*2^(2*b-1)-1)/3 avec a pair > 0 et b >0.

    Définition de le table de Syracuse :

    La première colonne d’indice zéro contient les nombres impairs y plus grand que zéro non multiple de 3 dans l’ordre naturel d’occurrence : 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, ...
    Les colonnes d’indice i > 0 contiennent (y*2^(2*i)-1)/3 si y est 1 modulo 3 ou (y*2^(2*i-1)-1)/3 si y est -1 modulo 3.
    Le tableau commence par :

    1, 1, 5, 21, 85, 341, 1365, ....
    5, 3, 13, 53, 213, 853, 3413, ....
    7, 9, 37, 149, 597, 2389, 9557, ....
    11, 29, 117, 469, 1877, 7509, 30037, ....
    13, 17, 69, 277, 1109, 4437, 17749, ....
    17, 11, 45, 181, 725, 2901, 11605, ....
    Les propriétés remarquables de la table de Syracuse :

    Tout nombre impair strictement positif non multiple de 3 est présent une seule fois colonne 0.
    Tout nombre impair strictement positif non multiple de 3 est présent une seule fois dans les colonnes d’indice > 0.
    Tout nombre impair strictement positif est présent une seule fois dans les colonnes d’indice > 0.
    Tous les nombres d’une même ligne d’indice de colonne > 0 ont tous le même successeur direct dans une suite de Syracuse et ce nombre est celui colonne 0 dans la ligne.
    Seul le nombre impair 1 est présent deux fois dans la première ligne colonne 0 et colonne 1 cycle trivial oblige puisque 1 doit être son propre successeur impair.
    Comme tous les nombres impairs d’une même ligne avec indice de colonne > 0 ont tous le même successeur (en colonne zéro de la ligne) et que ce successeur est unique il est impossible de revenir à la même ligne après l’avoir quittée sauf si d’une ligne d’indice > 1 on arrive à la première ligne pour atteindre le cycle trivial.
    Donc une suite de Syracuse ne peut que se terminer par 1 ou diverger.
    La suite ne peut diverger car il est évident que en partant de 1 on peut construire toute suite de Syracuse inverse et que chacune de ces suites vont diverger.
    D’où la preuve de la validité de la conjecture.
    Mais si on choisi un très grand nombre impair proche de l’infini pour commencer une suite de Syracuse on peut ne jamais avoir le temps de calcul nécessaire pour faire la preuve que la suite se termine bien par 1 !!!
    En partant d’un nombre impair x > 0 on va obtenir y nombres impairs successeurs de x avant d’atteindre 1, quelque soit y aussi grand qu’il soit il existe toujours une infinité de nombres x tels qu’ils ont tous y nombres impairs successeurs de x avant d’atteindre 1.
    Donc il existe une infinité de nombres impairs x qui ont une infinité de successeurs impairs avant d’atteindre 1, ces nombres x sont bien sur proches de l’infini.

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