20 décembre 2011

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  • Le problème 3n+1 : y a-t-il des cycles non triviaux ? (III)

    le 30 mai 2021 à 17:39, par Nicolas

    Très bon article jusqu’à l utilisation de Farey. Il est possible, sauf erreur de ma part, d obtenir un résultat bien meilleur en utilisant la formule de la durée.

    Je note I nb d’éléments impairs, P nb d’éléments pairs , durée D = P+I
    N entier positif

    On a 2^p / (3^I * N) > 1 appelé aussi résidu de N (voir le site d’ eric roosendaal on y trouve une conjecture sur la valeur maximale de ce résidu mais sa valeur minimale est toujours supérieur à 1)

    En utilisant le fait que 3^I = 2^ (P*I/P*log 3 / log 2) on obtient 2^(P *(1-I/P*log 3 / log 2))/N>1
    Maintenant on passe N de l’autre côté, on met au log des 2 côtés et on divise par log 2, cela donne : P*(1-I/P*log 3 / log 2) > log N / log 2 soit P > log N / (log 2-I/P*log 3)

    J espère que ça reste clair malgré la notation en ligne :)
    En multipliant la dernière ligne par I/P on a I > log N * I/P / (log 2-I/P*log 3)
    Et enfin en additionnant P+I = D > log N * (1+I/P) / (log 2-I/P*log 3)

    Le plus dur est fait :) on sait que N > 5×10^18 et I/P > log 2 / log (3+2×10^-19) la relation inverse par rapport à celle dans l article, on met ces nombres dans la formule de D et on obtient D > 4,4*10^46 soit un nombre un peu plus grand que 18 milliard ;)

    Bien sûr il est possible de calculer exactement I , P et D comme à la fin de l article mais le nombre obtenu ici est tellement grand que je vous laisse faire ce calcul.
    Sans parler du fait que les nombres utilisés ont été amélioré.

    Voilà, voilà, ce résultat renforce l’idée qu il n y a pas de cycles non triviaux.

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