8 mai 2013

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Petits arrangements — Regroupements par paires

En sortant de l’école
Le premier article d’une série consacrée au partage des éléments d’un ensemble en plusieurs parties.
(Rediffusion d’un article publié le 8 mai 2013).
Piste bleue
Le 8 mai 2013, par Equipe de la rubrique « En sortant de l’école » - 9 commentaires

  • Petits arrangements

    le 13 mai 2013 à 00:10, par Michèle Audin

    Jolis problèmes, bravo.

    Pourquoi, la prochaine fois, ne pas mettre les solutions des problèmes dans des blocs dépliants ? Ça permettrait d’y réfléchir une seconde avant de voir la solution !

    Amicalement

    Michèle

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    • Petits arrangements

      le 22 mars 2022 à 14:15, par captainAlba

      Bravo pour toutes les démonstrations ! Vous faites tous preuve d’une excellente mémoire et d’ingéniosité. Personnellement, la mathématique est l’une des matières que je voulais maîtriser du fait de son coefficient mais je n’y arrivais pas. Je sais calculer tout en sachant que tout est mathématique, la vie est faite avec la mathématique, c’est incontournable. C’est évident même si mon domaine d’activité est dans le sport. Dans notre site Musclopedia.com, nous proposons des formules qui fonctionnent pour atteindre un certain objectif. L’idée est de proposer divers éléments que l’on ajoute avec d’autres éléments et à multiplier pour avoir plus d’éléments. Plus on fait des efforts plus on sera en forme, plus on a des matériels performants, plus on atteint vite le but.

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  • un problème analogue

    le 21 mai 2013 à 06:03, par DAAMOUCH

    Bonjour,
    Je vous propose un problème dont la solution utilise la même idée :

    Peut-on recouvrir un échiquier de 8× 8 cases, sachant qu’on a éliminé la première case de la première ligne et la dernière case de la dernière ligne, par des dominos en sorte que chaque domino couvre deux cases et que les dominos ne se chevauchent pas ?

    Remarquons que la solution est difficile si on n’utilise pas les couleurs des cases.

    Merci

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    • un problème analogue

      le 22 mai 2013 à 22:24, par Ilia Itenberg

      Merci beaucoup pour la proposition. Effectivement, ce problème est très proche du thème de l’article (et plus précisement, du thème de la deuxième partie de l’article ; cette deuxième partie sera mise en ligne au début du mois de juin).

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  • Petits arrangements

    le 1er août 2013 à 14:52, par Tino

    Pour le problème 3, il y a une solution bien plus triviale, non ? je peux former les paires de nombres tel que : (123042 ;042123). il y donc forcément un nombre pair de nombres chanceux.

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    • Petits arrangements

      le 4 septembre 2013 à 00:48, par Ilia Itenberg

      Le problème de ce raisonnement est le suivant : chaque nombre de la forme abcabc n’est regroupé avec aucun autre nombre.

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  • Proposition de solution au problème n°5

    le 1er mai 2016 à 21:56, par QuentinC

    L’élève k appuie sur l’interrupteur de la lampe n si et seulement si n est un multiple de k, ou autrement dit si n est divisible par k.
    Donc, la lampe n change d’état autant de fois que n a de diviseurs.

    Appuyer un nombre pair de fois sur un interrupteur ne change pas l’état final de la lampe. Les lampes qui sont éteintes à la fin sont donc celles qui ont été basculées un nombre impair de fois.
    ON sait qu’un nombre n ne peut avoir un nombre impair de diviseur que si et seulement si c’est un carré parfait (merci pour le rappel, cf. problème 2)

    Par conséquent la lampe n est éteinte si n est un carré parfait, et allumée sinon.

    Il existe exactement ceil(sqrt(n)) carrés parfaits <= n (le nombre 1 compte aussi comme carré parfait).
    Soit donc 32 carrés parfaits jusqu’à 1000.

    Il y a donc 32 lampes éteintes et 968 lampes allumées.

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    • Proposition de solution au problème n°5

      le 3 mai 2016 à 10:56, par Sébastien Kernivinen

      Bonjour Quentin,
      Vous n’êtes pas très loin d’un résultat correct ; il y a une (petite) erreur dans votre réponse.
      Le nombre de carrés parfaits inférieurs ou égal à $n$ est la partie entière de $\sqrt n$ ce qu’on peut noter $\left\lfloor {\sqrt n } \right\rfloor $.
      En tenant compte de cette remarque, la réponse obtenue est : « 969 lampes allumées ».

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