21 juillet 2013

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  • Nombres remarquables

    le 27 juillet 2013 à 14:12, par Omar Khettab

    A la page 61 au paragraphe « le 1089 » on peut lire « si l’on inverse un nombre de 3 chiffres et que l’on calcule la différence avec le nombre inversé, puis que l’on ajoute au résultat le résultat inversé, on trouve toujours 1089. Prenons à titre d’exemple le nombre 623 : 623-326= 297 et 297+792 = 1089 »

    Or cela ne fonctionne pas avec 111.

    Idem au paragraphe 63 pour l’algorithme de Kaprekar avec 1111.

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    • Nombres remarquables

      le 6 novembre 2013 à 13:46, par Shalom Eliahou

      Merci beaucoup pour vos remarques ! Je réponds ici sur l’algorithme de Kaprekar, puis séparément sur le premier algorithme.

      L’algorithme de Kaprekar donne toujours 6174, sauf dans 77 exceptions où il donne 0. Ces exceptions sont les 9 nombres de la forme aaaa, où a est un chiffre entre 1 et 9, et les 68 nombres entre 1000 et 9998 de la forme aaab, aaba, abaa et baaa lorsque a et b sont deux chiffres différent d’une unité exactement, à savoir : 1000 ; 1110, 1101, 1011 ; 1112, 1121, 1211, 2111 ; 2221, 2212, 2122, 1222 ; ..., 8898, 8988 ; 9998, 9989, 9899, 8999.

      Merci encore.

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  • Nombres remarquables

    le 28 juillet 2013 à 16:27, par Laurent Paluel-Marmont

    Ça ne fonctionne pas avec divers autres nombres. Il faudrait effectivement préciser les conditions initiales dans le choix des trois chiffres constituant le nombre de départ.

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    • Nombres remarquables

      le 6 novembre 2013 à 13:56, par Shalom Eliahou

      Vous avez raison, précisons ce qui arrive dans tous les cas. L’algorithme donne trois valeurs possibles : 0, 198 et 1089. On obtient 0 dans 90 cas, à savoir ceux des palindromes, c’est-à-dire des nombres de la forme aba. Et on obtient 198 dans 170 cas, à savoir ceux des nombres de la forme abc, où a et c sont deux chiffres différent d’une unité exactement et où b est quelconque : 100, 102, 110, 112, ..., 190, 192, 201, 203, 211, 213, ..., 978, 988, 998.

      Merci encore.

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  • Nombres remarquables

    le 28 juillet 2013 à 17:37, par Laurent Paluel-Marmont

    A propos du nombre 153 (page 38) : le mot « χθης » n’existe pas en grec, il faut lire « ιχθυς » (« ichthus ») ; mais, en utilisant le système de numération du grec ancien, ιχθυς donne 1219, et non le « gématrique » 1224 - d’où 152,375 poissons.

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  • Nombres remarquables

    le 20 août 2013 à 11:33, par Audibert

    Dans le livre N°18 On trouve encore un joli et gentil petit problème « Vers un » (page 18) qui peut s’énoncer comme suit : Choisis un nombre entre 0 et 100 .Si ce nombre est pair divise le par deux , si ce nombre est impair multiplie le par trois et ajoute un .Tu obtiens un nouveau nombre .Recommence alors la démarche précédente .Tu obtiens une suite de nombres . Est-elle finie ? G.A.

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    • Nombres remarquables

      le 6 novembre 2013 à 14:06, par Shalom Eliahou

      Cette suite est-elle finie ? C’est un grand problème ouvert, depuis plus de 80 ans ! La conjecture dite « 3n+1 » ou « de Syracuse » postule qu’on arrivera toujours sur 1 quelque soit le nombre de départ. Des calculs sur ordinateur indiquent que c’est vrai jusqu’à un milliard de milliards, soit 10 puissance 18. A priori, il se pourrait que l’une de ces suites diverge vers l’infini, même si personne n’y croit ; mais on ne sait pas en démontrer l’impossibilité. Je vous réfère à mes trois articles sur le sujet dans IdM, dont le premier en piste verte : http://images.math.cnrs.fr/Le-probleme-3n-1-elementaire-mais.html

      Bien cordialement.

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  • Nombres remarquables

    le 7 juillet 2014 à 17:26, par bayéma

    j’aimerais savoir si quelqu’un a déjà pensé à compléter la suite de fibonacci « à gauche », vers - l’infini, à l’instar de Z par rapport à N, ave le même procédé de construction tel que F(-n) = F(-n-2) + F(-n-1) ce qui donne ...-8 5 -3 2 -1 1 0 et la suite connue. on remarque que les -F pairs sont négatifs. on pourrait appeler cette suite complète F(Z). en « pliant » cette suite sur elle-même (F(0) étant le lieu du « pliage ») et si l’on additionne les deux branches terme à terme, les F impairs se doublent et les F pairs s’annulent ; c’est évidemment le contraire avec la soustraction. la suite F(Z) n’est donc pas « symétrique » des deux côtés de F(0). quant au nombre d’or « vers la gauche », il serait toujours négatif puisque les signes des F(-n) alternent.
    josef bayéma, plasticien, guadeloupe

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    • Nombres remarquables

      le 7 juillet 2014 à 20:16, par Shalom Eliahou

      Oui, ce prolongement de la suite de Fibonacci « vers la gauche » a déjà été considéré. Les premiers termes que vous en donnez sont parfaitement corrects, et peuvent se résumer par la formule

      F(-n) = (-1)^(n-1) * F(n)

      pour tout nombre entier n.

      Bien cordialement,

      Shalom

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      • Nombres remarquables

        le 7 juillet 2014 à 21:03, par bayéma

        ok ! mais où peut-on trouver cette extension ?
        josef bayéma.

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        • Nombres remarquables

          le 8 juillet 2014 à 16:51, par Shalom Eliahou

          Eh bien sur Wikipedia par exemple, et plus spécifiquement à cet endroit précis :

          http://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_de_Fibonacci#La_suite_pour_les_nombres_n.C3.A9gatifs

          ou encore ici :

          http://robert.mellet.pagesperso-orange.fr/suit/f_fibo_1.htm

          C’est une bonne idée, très naturelle, que de chercher à étendre une suite vers la gauche. Dans le cas présent, l’extension cherchée est unique.

          Bien cordialement,

          Shalom

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          • Nombres remarquables

            le 8 juillet 2014 à 19:21, par bayéma

            merci !

            la suite de fibonacci est un monument dans la culture populaire mathématique. comme beaucoup de problèmes dont l’énoncé est simple (genre : suites de syracuse...) et restent cependant encore ouverts ou démontrés depuis peu seulement mais avec un appareillage technique étonnamment complexe qui, pour le profane, semble hors de proportion. c’est déjà en soi un vrai problème épistémo-philosophique.
            mais avec l’arithmétique (en fait « les nombres remarquables ») on a vraiment l’impression que quiconque peut y aller de sa découverte il se peut, d’ailleurs, que ce qui est « découverte » pour l’amateur, soit déjà connu par les professionnels. mais, comme en astronomie, en botanique ou en entomologie, on attend confirmation.
            en randonnant dans la littérature, j’ai trouvé une particularité pour les nombres de fibonacci pairs : en plus d’être négatifs dans la version « miroir », ils apparaissent chez matiyassévitch dans R(u ; v) tel que v est le 2u-ième nombre de fibonacci, chez votre collègue popescu-pampu dan ses travaux sur les diagrammes d’enriquès et les nombres de milnor de la forme 2n-4 avec n >= 3. etc. cette « dissymétrie » doit signifier quelque chose au vu de l’apparente « neutralité » du mode de fabrication ?!
            josef bayéma.

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  • Nouvelle classification des nombres entiers naturels

    le 6 avril 2020 à 20:26, par Jean-Yves BOULAY

    Bonjour,

    Je pense que ceci peut vous intéresser. Je propose un nouvelle définition mathématique ne faisant aucune distinction entre l’ensemble des nombres premiers et les nombres 0 et 1.

    Voici un aperçu de mon article.

    Considérant l’ensemble des nombres entiers naturels, ceux-ci s’organisent en deux ensembles : les nombres ultimes et les nombres non ultimes.
    Définition des nombres ultimes :
    Un nombre ultime n’admet aucun diviseur non trivial (nombre entier naturel) lui étant inférieur.
    Définition des nombres non ultimes :
    Un nombre non ultime admet au moins un diviseur non trivial (nombre entier naturel) lui étant inférieur.

    Autres définitions
    Soit n un nombre entier naturel (appartenant à ℕ*), celui-ci est ultime si aucun diviseur (nombre entier naturel) inférieur à sa valeur et autre que 1 ne le divise.
    Soit n un nombre entier naturel (appartenant à ℕ*), celui-ci est non ultime si au moins un diviseur (nombre entier naturel) inférieur à sa valeur et autre que 1 le divise.

    Cette différenciation génère de singuliers arrangements arithmétiques de ces deux classes de nombres comme par exemple dans les additions croisées des dix premiers digitaux (0 à 9).

    Jean-Yves Boulay. The ultimates numbers and the 3/2 ratio. 2020. ⟨hal-02508414v2

    Document joint : ex_et_int_09_par_09.jpg
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