Découpons le cercle comme un gâteau : en plein de parts égales.

Si ce nombre de parts est très grand, chacune va ressembler à un triangle. Disons que sa base est le côté sur le bord du cercle et sa pointe est le centre du cercle. Le rapport entre la surface du triangle et la base du cercle est, comme le sait Luna, $R/2$.

Or, toutes les bases mises bout à bout forment presque le tour du cercle. Et tous les triangles mis bout à bout forment le cercle.

Comme le sait Luna, quand on ajoute ensemble des termes ayant le même facteur de proportionnalité, cette proportion est conservée. Le rapport entre la surface du cercle et son périmètre est donc aussi $R/2$. Si on sait que l’un vaut 2$\pi R$, l’autre vaut $\pi R^2$ et réciproquement.

(Si $a$ est la base des triangles, sa surface est $aR/2$. Si $n$ est le nombre de triangles, le périmètre du cercle est en gros $na$ et sa surface en gros $naR/2$. Si $n$ devient très grand, $na$ tend donc à valoir $2\pi R$ et $naR/2$ se rapprochera donc de $2\pi R.R/2$, soit $\pi R^2$.)

J’ai adoré ton billet! Et j’ai besoin d’indices (sur le prochain billet?)
Jacques

Bonsoir Stéphane

Après avoir apprécié toute la pédagogie de la personnification de M. Pi, puis accordé toute ma réflexion au résultat de vos cogitations, je vous fais part des miennes :

L’enfante (Luna si j’ai bien tout compris), comme vous l’avez démontré (par A + B) apparaît finalement, dans sa naïveté originelle, comme étant plus mathématicienne que chacun de nous car elle est capable d’aller à l’essentiel. En l’occurence, les études (de mathématiques ou autre) dans un souci initial de plus grande connaissance, nous éloignent finalement de la «vraie raison».
On pourrait faire le rapprochement avec le nouveau-né qui, plongé dans une piscine quelques jours après sa naissance, saura nager, alors qu’il pourrait s’y noyer dix ans plus tard, s’il s’essaie à une nage un peu trop farfelue (espérons alors pour lui que la piscine n’ait pas trop de dénivelé, cf l’article «Que se passe-t-il lorsqu’un mathématicien va à la piscine?»).

Cependant, deux mauvaises pistes s’ouvriraient alors à nous :
Tout d’abord, serait-il bien raisonnable de laisser l’enfant à vie dans la piscine sous prétexte qu’une fois sorti, il en perdrait ses facultés initiales?

Par ailleurs, devrait-on le laisser grandir sans jamais l’initier à cet art aquatique qu’est la natation, de peur qu’il n’en fasse mauvais usage ?

On retombe donc sur nos pieds, s’ils ne sont pas devenus des palmes entre-temps.
Ouf ! Tout ceci n’aura donc pas servi à rien (le bac, les années post-bac, les années post-post-bac), et Luna peut à nouveau se replonger dans ses leçons sans scrupules !

Enfin, Jacques Istas, pour vous faire patienter, voici une petite distraction de circonstance :

Luna a vingt-cinq ans de moins que son père. Dans douze ans, elle aura la moitié de l’âge de son père. Quel âge a Luna aujourd’hui ?
Question subsidiaire : en quelle classe est-elle alors ? ;-)

Quand j’étais moi-même en CM2, je me rappelle très bien avoir été intrigué par ce \pi qui était censément le même pour le périmètre du disque et pour son aire... Je voyais bien que chaque formule était vraie par homogénéité (quoique je ne le disse pas comme ça à l’époque) pour une certaine valeur de \pi, mais je me disais : «qu’en savent-ils, que c’est la même ? Si ça se trouve elles sont proches mais différentes...». Je n’ai eu la réponse que quelques années plus tard.

Par ailleurs, mon instituteur nous ayant enseigné que \pi était égal à 22/7, je ne comprenais pas très bien où était l’exploit de ceux qui retenaient des milliers de décimales de ce nombre... D’ailleurs, j’avais rempli des feuilles entières avec la séquence «142857» (que je connais du coup par cœur, maintenant :-P), me demandant si cela constituait réellement un exploit mathématique... :-)