21 janvier 2009

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  • La bonne raison, ou les maths expliquées à Luna

    le 21 janvier 2009 à 19:00, par François Sauvageot

    Découpons le cercle comme un gâteau : en plein de parts égales.

    Si ce nombre de parts est très grand, chacune va ressembler à un triangle. Disons que sa base est le côté sur le bord du cercle et sa pointe est le centre du cercle. Le rapport entre la surface du triangle et la base du cercle est, comme le sait Luna, $R/2$.

    Or, toutes les bases mises bout à bout forment presque le tour du cercle. Et tous les triangles mis bout à bout forment le cercle.

    Comme le sait Luna, quand on ajoute ensemble des termes ayant le même facteur de proportionnalité, cette proportion est conservée. Le rapport entre la surface du cercle et son périmètre est donc aussi $R/2$. Si on sait que l’un vaut 2$\pi R$, l’autre vaut $\pi R^2$ et réciproquement.

    (Si $a$ est la base des triangles, sa surface est $aR/2$. Si $n$ est le nombre de triangles, le périmètre du cercle est en gros $na$ et sa surface en gros $naR/2$. Si $n$ devient très grand, $na$ tend donc à valoir $2\pi R$ et $naR/2$ se rapprochera donc de $2\pi R.R/2$, soit $\pi R^2$.)

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